Формула Тейлора.

Теорема Тейлора.

1. Пусть функция f(x) имеет в точке х=а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.

2. Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х  а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Маклорена.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Представление некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

Функция f(x) = .

Находим: f(x) = , f(0) = 1

f(x) = , f(0) = 1

……………………

f(n)(x) = , f(n)(0) = 1

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

Функция f(x) = sinx.

Функция f(x) = cosx.

Функция f(x) = , ( - действительное число)

Если в полученной формуле принять  = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Функция f(x) = ln(1 + x).

Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f(x) = 2x + ; g(x) = ;

;

Пример: Найти предел .

; ;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат.

Пример: Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Пример: Найти предел .

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y = (y) или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Возрастание и убывание функций.

Теорема.

1. Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x)  0.

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1. Найти критические точки функции.

2. Найти значения функции в критических точках.

3. Найти значения функции на концах отрезка.

4. Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.