Одержана формула називається формулою повної ймовірності. Відзначимо, що формула буде правильною і для зліченної кількості подій.

Нехай виконуються, вказані на початку пункту, умови і . Будемо вважати, що подія настала. Необхідно знайти . За теоремою множення , тому , а за формулою повної ймовірності

.

Одержані формули називаються формулами Байєса.

В статистичних застосуваннях події називаються гіпотезами, а – апріорною ймовірністю гіпотези . Умовна ймовірність називається апостеріорною ймовірністю гіпотези після настання події .

Схема Бернуллі. Формула Бернуллі

Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі

Нехай послідовно проводяться випадкові експерименти (випробування). Будемо вважати, що будь–яка подія, яка відноситься до фіксованого випробування, буде незалежною від будь–якої події, що відноситься до інших випробувань. Тоді говорять, що задано послідовність незалежних випробувань. Нехай проводиться послідовність незалежних випадкових експериментів, в кожному із яких може настати деяка подія . Якщо ймовірність настання події є однаковою в кожному експерименті, то таку послідовність випробувань називають схемою Бернуллі.

Нехай проводяться серії із n випробувань. Позначимо – ймовірність того, що в випробуваннях подія настане точно разів. Результати серії із n випробувань можна подати у вигляді , де – подія, яка настає в -му експерименті, або . Тоді , якщо в -му експерименті настала подія , і , якщо . Тому, враховуючи незалежність, , а для тих , у яких входить рівно k разів, а n–k разів . Але k випробувань, у яких настає подія , можна вибрати способами і для кожного з них ймовірність рівна . Тоді за аксіомою адитивності,

. (1)

Одержана формула називається формулою Бернуллі.

Оскільки, , то .

Нехай – деяке фіксоване число, – змінне, . Дослідимо поведінку при зміні . Розглянемо відношення

.

Якщо або , то , тобто, ймовірності – зростають. Аналогічно,

при . Тому при ймовірності – спадають. Якщо є цілим числом, то максимальне значення ймовірності досягається при двох значеннях k, а саме: і . Якщо ж не є цілим числом, то максимальне значення ймовірності досягається тільки при одному значенні . Число , при якому є максимальною, називається найімовірнішим числом настання події. При цьому справедлива нерівність

. (2)

Застосування формули Бернуллі при великих n вимагає великої обчислювальної роботи, при цьому виникають похибки заокруглення, тому результат одержуємо наближений. Ми розглянемо тепер деякі наближені формули, що значно спрощують обчислення ймовірностей в схемі Бернуллі.

Теорема Пуассона використовується при обчисленні ймовірностей рідких подій, коли число випробувань досить велике, а ймовірність настання події в кожному випробуванні досить мала. Таким чином, при великих n і малих p можемо використовувати наближену формулу

, (3)

де .

Приклад 2. Прилад містить 2000 однаково надійних елементів. Ймовірність відмови кожного із них дорівнює 0,0005. Яка ймовірність відмови приладу, якщо вона настає при відмові більше, ніж двох елементів?

Розв’язування. Нехай A – відмова більше, ніж двох елементів, – відмова і елементів, тоді . Так як – досить велике, а – мале, то для знаходження ймовірностей подій можемо використати наближену формулу (3), в якій . Тому

,

а .

При великих n обчислення ймовірностей досить громіздке, тому необхідно мати асимптотичні формули, за якими ці ймовірності можна знаходити наближено. Одну із таких наближених формул ми уже розглянули. Але, якщо ймовірність не є близькою до нуля або одиниці, то теорема Пуассона дає велику похибку. В цьому випадку вигідно застосовувати наступну теорему.

Практичне використання доведеної теореми основане на наближеній формулі

, (10)

де – функція Гауса, а . Значення функції Гауса можна знайти за таблицями (таблиця 1), які містяться у більшості підручників з теорії ймовірностей.

Приклад 3. Ймовірність настання події в кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія настане 90 разів.

Розв’язування. Використаємо локальну теорему Муавра-Лапласа в якій покладемо:

n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 90. Тоді , а за таблицею 1 . Отже, із (10) одержуємо .

При розв’язуванні задач часто виникає необхідність знаходити ймовірності того, що в n випробуваннях Бернуллі подія настане від до раз. За локальною граничною теоремою це робити незручно, а вигідно застосовувати наступну теорему.

Теорема. Нехай – число появ події в незалежних випробуваннях в кожному із яких ймовірність її настання є сталою і дорівнює p (0< p <1), то рівномірно відносно a і b справедливе співвідношення

. (11)

Із теореми випливає, що при великих має місце наближена рівність

. (21)

Нехай – функція Лапласа, значення якої можна знайти за таблицею 2. Таблиця складена для значень , а при покладають , крім того враховуємо, що . Використовуючи рівність

,

(21) можна записати у вигляді

. (22)

Позначимо через – ймовірність того, що в n випробуваннях Бернуллі подія настане від до раз. Тоді із (21) і (22) одержуємо

або

, (23)

де .

Приклад 4. Ймовірність настання події в кожному із 100 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія настане не менше 80 і не більше 90 разів.

Розв’язування. Використаємо інтегральну теорему Муавра–Лапласа, в якій покладемо n = 100, p = 0,8, q = 0,2, = 80, = 90. Тоді , . За таблицею 2 (0) = 0, (2,5) = 0,4938. Отже, .

		ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Одновимірні випадкові величини

Поняття події в теорії ймовірностей являє собою абстрактну модель певної якісної ознаки, що відбиває лише два альтернативні судження: є подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова величина — абстрактної моделі кіль- кісної ознаки.

1. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закони розподілу їх імовірностей

Розглянемо такий простір елементарних подій, в якому кожній елементарній події Ώ відповідає одне і лише одне число х або набір чисел , тобто на множині Ώ визначена певна функ­ція , яка кожній елементарній події ставить у відповідність певний елемент одновимірного простору R₁ або n-вимірного простору R_n.

Цю функцію називають випадковою величиною. У разі, коли відображає множину Ώ на одновимірний простір R₁, випадкову величину називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на R_n, то випадкову величину називають n-вимірною (системою n випадкових величин або n-вимірним випадковим вектором).

Отже, величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю.

Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку величину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною.

Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z, ... , а їх можливі значення — малими х; у; z, ... .

Для опису випадкової величини необхідно навести не лише множину можливих її значень, а й указати, з якими ймовірностями ця величина набуває того чи іншого можливого значення.

З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей.

Співвідношення, що встановляє зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом розподілу випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна задати в табличній формі.

У разі табличної форми запису закону подається послідовність можливих значень випадкової величини Х, розміщених у порядку зростання, та відповідних їм імовірностей:

Х = хі	х1	х2	х3	......	хk
Р(Х = хі) = рі	р1	р2	р3	.....	рk

Оскільки випадкові події (Х = х_j) і (Х = х_m) є між собою несумісними ((Х = х_і) ∩ (Х = х_m) = , і   m; і, m = 1, 2, …, k) і утворюють повну групу , то необхідною є така умова:

(61)

Рівність (61) називають умовою нормування для дискретної випадкової величини Х. Наведену таблицю називають рядом розподілу.

Закон розподілу ймовірностей можна унаочнити графічно.

Для цього візьмемо систему координат р_і О х_і, відклавши на осі абсцис можливі значення випадкової величини х_і, а на осі ординат — імовірності р_і цих можливих значень. Точки з координатами (х_і; р_і) послідовно сполучимо відрізками прямої. Утворену при цьому фігуру називають імовірнісним многокутником.

Сума ординат імовірнісного многокутника завжди дорівнює одиниці.

Функція розподілу ймовірностей (інтегральна функція) та її властивості

Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х), так звану інтегральну функцію.

Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей:

F(x) = P(X < x) (62)

Цю функцію можна тлумачити так: унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення, меншого за х .

Розглянемо властивості F(x):

1.

2.  є неспадною функцією, а саме , якщо .

Із другої властивості F(x) випливають наведені далі висновки:

1. Імовірність того, що випадкова величина Х набуде можливого значення , дорівнює приросту інтегральної функції F(x) на цьому проміжку:

(65)

2. Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення, завжди дорівнює нулю:

Отже, для неперервної випадкової величини Х справджуються такі рівності:

(67)

Щільність імовірностей і її властивості

Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовір- ностей зручно описувати з допомогою щільності ймовірностей, яку позначають f (x).

Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x):

(69)

звідки

Оскільки

то добуток f (x) dx — ймовірність того, що випадкова величина Х міститиметься у проміжку [х, х + dx], де .

Геометрично на графіку щільності ймовірності f (x) dx відповідає площа прямокутника з основою dx і висотою f (x) (рис. 27а).

Рис. 27а

Властивості f (x)

1. ..

2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х:

(70)

3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі обчислюється за формулою

(72)

4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд

(73)