Числові характеристики випадкових величин Математичне сподівання

Означення математичного сподівання. Приклади. Нехай випадкова величина – дискретна із можливими значеннями і відповідними ймовірностями . Сума добутків можливих значень випадкової величини на ймовірності, з якими ці значення приймаються, називається математичним сподіванням дискретної випадкової величини (якщо множина значень випадкової величини зліченна, то за умови збіжності ряду ) і позначається або :

. (1)

Нехай випадкова величина – неперервна із щільністю , тоді

, (2)

якщо інтеграл – збіжний.

Часто математичне сподівання називають середнім значенням випадкової величини. Для математичного сподівання використовують і таке позначення: .

Приклади.

1. Математичне сподівання випадкової величини, що має біномний розподіл. Нехай дорівнює числу появ події в незалежних експериментах. Тоді приймає значення із ймовірностями . Тому

.

Отже, для біномного розподілу .

2. Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Пуассона. Випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона приймає значення з ймовірностями . Тоді

.

3. Математичне сподівання випадкової величини, що має рівномірний на відрізку розподіл. Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Тому за формулою (2)

.

4. Математичне сподівання випадкової величини, що має нормальний розподіл. Випадкова величина має нормальний розподіл, якщо її щільність має вигляд

.

Із (2) одержуємо:

бо .

Отже, параметр , що входить в щільність нормального розподілу, є .

5. Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Коші. Щільність розподілу Коші має вигляд:

.

Тому із (2) . Але такий невласний інтеграл є розбіжним, тому для випадкової величини, що має розподіл Коші, математичне сподівання не існує.

Властивості математичного сподівання (випадок дискретно розподілених випадкових величин).

1. , де .

2. .

3. .

4. Якщо і – незалежні, то .

Дисперсія випадкової величини

Математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання називається дисперсією (позначається ):

. (4)

Квадратний корінь із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням або стандартним відхиленням: .

Дисперсія характеризує розсіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання.

Розглянемо деякі властивості дисперсії.

1. . .

2. Для будь-яких a і b .

3. Якщо випадкові величини і – незалежні, то .

Величина

називається коваріацією випадкових величин і . Тому

.

Для незалежних випадкових величин і

.

Із властивостей математичного сподівання випливає, що дисперсію можна обчислити за формулами

.

Якщо – дискретна і приймає значення із ймовірностями , то

,

якщо величина має щільність , то

.

Розглянемо приклади обчислення дисперсії.

1. Біномний розподіл. Нехай дорівнює числу появ події в незалежних експериментах. . Нехай – число появ події в і-ому експерименті, тоді приймає два можливих значення: 0 з ймовірністю і 1 з ймовірністю ;

Тоді , . За формулою (5) . Число появ події в експериментах і випадкові величини – незалежні. Тому

2. Розподіл Пуассона. Випадкова величина приймає значення з ймовірностями . Тоді . А

.

Тому

.

3. Рівномірний розподіл на відрізку . Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Ми уже знайшли . Знайдемо

.

Тоді

.

4. Нормальний розподіл. Нехай випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами і . Її щільність і ми уже знайшли . За формулою для обчислення дисперсії

.

Після виконання підстановки , , , одержуємо:

.

Отже, нормальний закон розподілу повністю визначається параметрами і .