9. Определение lim ф-ции на ɛ-δ

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности х₀, кроме может быть самой точки х₀.

Определение 1(конечный предел в конечной точке):

Число А – предел ф-ции f(x) в точке х=х₀ [ lim f(x) при х->x₀, если д/любого ɛ >0 : люб. х ≠х₀ удовлетворяющих |х-х₀|< δ выполняется |f(x)|-A< ɛ ]

Определение 2 (конечный предел на бесконечности)

Определение 3 (бесконечный предел, в конечной точке)

Предел ф-ции в f(x)= ∞ в т.х₀ (при х->x₀), если д/люб. ɛ>0 сущ-ет δ>0 : люб. х ≠х₀ удовл. |x-x₀|< δ выполняется |f(x)|> ɛ

Определение 4 (бесконечный предел на бесконечности)

10. бмф и ее св-ва

Ф-ция бм, при х->x₀, если lim f(x)=0 д/люб. Е>0 сущ-ет такое «+» число б : д/всех х, удовл. |x-x₀|<б выполн. |f(x)|<Е

Св-ва:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бмф есть бмф. Док-во: Пусть а(x) и b(x) – бмф (при х->x₀)

a(x)+b(x)-бмф?

Выберем произв. ɛ>0 (cоотв. ɛ/2>0). По опред. бмф найдётся такое число δ₁ такое, что д/всех х, удовлетворяющих 0<|x-x₀|< δ₁ выполняется неравенство |a(x)|< ɛ/2 (1). И lim b(x) при х->х₀ => д/люб. ɛ/2>0 есть δ₂>0 такое, что д/люб. х 0<|x-x₀|< δ₂ из чего следует |b(x)|< ɛ/2 (2). Пусть δ –наименьшее из δ₁ и δ₂. Тогда д/всех x, удовлетворяющих 0<|x-x₀|< δ выполняются равенства (1) и (2) следовательно |a(x)+b(x)| ≤ |a(x)| + |b(x)|< ɛ/2+ɛ/2= ɛ, тогда |a(x)+b(x)|< ɛ, что означает: lim(a(x)+b(x) при х->x₀ равен нулю => (a(x)+b(x)) есть бмф при х->x₀

2 Произв. ограниченной ф-ции на бмф есть бмф. Док-во: Пусть f(x) ограничена при x->x₀. Тогда сущ-ет такое М>0, что |f(x)|<M (1) для всех х из δ₁ окрестности точки х₀. Пусть a(x) – бмф, при х->x₀ => д/люб. E>0 и следов. E/M>0 найдётся такое б₂>0, что при всех х, удовлетворяющих 0<|x-x₀|<б, выполняется |a(x)|<E/M (2). Пусть теперь б – наименьшее из б1 и б2. Тогда д/всех х, удовл. 0<|x-x₀|<б выполняется (1) и (2). Значит, |f(x)|*|a(x)|<E/M*M=E, что говорят: f(x)*a(x) при х->x₀ есть бмф.

3. Произв. 2х бмф есть бмф (тк бмф – ограничена, то это вытекает из 2)

4 Произв. бмф на число есть число (следств. из 2ого)

5 Если a(x) бмф, то 1/а(х) ббф и наоборот.

6 Если ф-ция у=f(x) имеет lim=A, то её можно представить в виде lim f(x)=A при х->х₀  f(x)=A+a(x), где а(х) бмф

7 Если f(x) мб представлено как f(x)=A+a(x), то f(x) имеет предел=А. Те f(x)=A+a(x) => lim f(x) при х->x₀ равен А (Теорема и док-во 11 билет)

11. (Т) о связи ф-ции и её предела

Если ф-ция имеет lim=A (при х->x₀), то ее можно представить в виде суммы числа А и бмф а(х), те lim f(x)=A при х->x₀ , то f(x)=A+a(x) (напр. lim(x+5)=7 при х->2, тогда f(x)=7+x-2

Док-во: Пусть сущ-ет lim f(x)=A при х->х₀ => Для люб. Е найдётся б>0 такое что д/всех х будет выполняться 0<|x-x₀|<б следовательно |f(x)-A|=E или |f(x)-A-0|=E, что значит: f(x)-A имеет нулевой предел, т е является бмф, которая мб обозначена через а(х): f(x)-A=a(x), откуда f(x)=A+a(x)

И обравтно, если f(x) мб представлено как f(x)=A+a(x), то f(x) имеет предел=А. Те f(x)=A+a(x) => lim f(x) при х->x₀ равен А

12. Ббф. Связь бмф и ббф

Опр. 1) Ф-ция бб, при х->х₀, если lim f(x)= ∞ при х->x₀, те д/любого Е>0, сущ-ет б>0, такое что д/всех х≠х₀ удовл. |x-x₀|<б выполняется |f(x)|>Е (те ббф при х->x₀ имеет бесконечный lim)

Опр. 2) Ф-ция f(x) бб, при х->∞, если lim f(x)= ∞ при х->∞, те д/люб. E>0 сущ-ет б>0 : д/всех х |x|>б выполняется |f(x)|>E

Связь: 1. Если a(x) бмф, то 1/a(x) ббф

2 Если b(x) ббф, то 1/b(x) бмф

Док-во: Пусть а(х) – бмф при х->x₀, те lim a(x)(при х->x₀)=0. Тогда д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 д\люб. х : 0<|x-x₀|<б выолн. |a(x)|<E, т е |1/а(х)|>1/E, те |1/a(x)|>M, где М=1/Е. А это означает, что ф-ция 1/а(х) – ббф. Аналогично доказывается обратное.

13. Св-ва lim связ. с арифм операц.

Аналогичны теоремам и св-вам пределов последовательностей.

1. (Т) lim суммы/разности 2х ф-ций = сумме/разности их пределов.

Док-во: Пусть lim f(x)=A, lim b(x)=B. Тогда по (т) о связи ф-ции с ее пределом (билет 11: Если ф-ция имеет lim=A (при х->x₀), то ее можно представить в виде суммы числа А и бмф а(х), те lim f(x)=A при х->x₀ , то f(x)=A+a(x)) => f(x)=A+a(x) и g(x)=B+b(x). Cледовательно, f(x)+g(x)=A+B+(a(x)+b(x)). Здесь a(x)+b(x) – бмф как сумма бмф. По (т) (из 11 бил) можно записать так lim(f(x)+g(x))(при х->x₀)=А+В, те lim(f(x)+g(x))(при х->x₀)=lim f(x)(при х->x₀) + lim g(x)(при х->x₀)

2. Ф-ция может иметь только 1 предел

Пусть lim f(x)(при х->x₀)=A и lim f(x)(при х->x₀)=В (по теореме 1.) имеем: 0=lim(f(x)-f(x))(при х->x₀)=lim f(x)(при х->x₀)- lim f(x)(при х->x₀)=A-B. Отсюда А-В=0 => A=B

3. Предел произв. 2х ф-ций = произв. их пределов

Док-во аналогично предыдущему. lim f(x)=A, lim b(x)=B, то f(x)=A+a(x) и g(x)=B+b(x), где а(х) и b(x) – бмф => f(x)*g(x)=(A+a(x))*(B+b(x)), те f(x)*g(x)=A*B+ (A*b(x) + B*a(x) + a(x)*b(x)). Выражение в скобках есть бмф. Поэтому lim f(x)*g(x)(при х->x₀) = A*B, те lim(f(x)*g(x))(при х->x₀)=lim f(x)(при х->x₀)*lim g(x)(при х->x₀)

4 Постоянный множитель мб вынесен за знак предела

lim(c*f(x))(при х-х₀) = lim c(при х-х₀)*lim f(x)(при х-х₀)=c*lim f(x)(при х-х₀)

5. Предел степени с натур. показателем равен той же степени предела

lim (f(x))ⁿ(при х-х₀) = lim(f(x)*f(x)*…*f(x))(при х-х₀) [в скобках n-сомножителей] = lim f(x)*…*lim f(x)=(lim f(x)(при х-х₀))ⁿ

6. lim a/b = lim a/lim b

Док-во аналогично предыдущему. Из равенств lim f(x)=A, lim b(x)=B, В≠0 следует => f(x)=A+a(x) и g(x)=B+b(x). Тогда f(x)/g(x) = (A+a(x))/(B+b(x)) = A/B + ((A+a(x)/(B+b(x) – A/B) = A/B + (B*a(x) – A*b(x))/(B²+B*b(x)). Второе слагаемое есть бмф как частное от деления бмф на ф-цию, имеющую отличный от 0 предел. Поэтому lim f(x)/g(x)(при х->x₀) = A/B = lim f(x)(при х->x₀)/lim g(x)(при х->x₀)