22 Класс. Бмф; (т) о замене бмф на эквивалентные бмф

Пусть a(x) и b(x) – бмф, т е lim a(x)(при х->x₀)=0 и lim b(x)(при х->x₀)=0:

1. если а-const, то а(x) и b(x) – бмф одного порядка

2. если , то a(x) – бмф более высокго порядка, чем b(x)

3. если , то а(x) – бмф более низкого порядка, чем b(x)

4. если (не сущ-ет), то бмф а(х) и b(x) – несравнимые

5. если , то а(x)~b(x) эквиваленты

(т) Предел ф-ции не изменится, если одну бмф заменить на эквивалентную ей.

Пусть а~a` и b~b` при х->x₀. Тогда lim a/b(при x->x₀) = lim (a/b * a`/a`* b`/b`)(при х->x₀) = lim a/a`(при х->x<sub>0</sub>)*lim b`/b (при x->x₀)*lim a`/b`(при х->x₀) = 1*1*lim a`/b`(при х->x₀), те lim a/b(при х->x₀) = lim a`/b`(при х->x₀)

Аналогично, если заменять только одну бмф.

24 Приращ. Ф-ции/признак непр. В (.)

Еще одно опред. непр. ф-ции в точке: Пусть ф-ция опр. в некот. окрестности т.x₀. Рассм. люб. х из этой окр. Dх=х-х₀ – приращение аргумента. Пусть у=f(x), а у₀=f(x₀) => Dy=y-y₀=f(x)-f(x₀) – приращение ф-ции (рис)

Ф-ция y=f(x) нпзывается непрерывной в т.x₀, если бескон. малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции. Докажем эквивалентность этих опр. Пусть у=f(x) непрерывна в т.x₀ => согласно 1 опред. выполняется lim f(x) при х->x₀=f(x₀) ; lim f(x) (при х->х₀) – f(x₀) (он const)=0 ; заменим ф-цию на её предел: lim f(x)(при х-x₀) – lim f(x₀)(при х->x₀)=0 ; lim (f(x)-f(x₀))(при х-х₀->0)=0 [(f(x)-f(x₀)) – это Dy; х-х₀ – это Dх) => limDy(при Dх->0)=0

25. (Т) о ф-ции непр. На замкн. Промежутке

Св-ва ф-ции непр. на отрезке: f(x) – ограничена на [a;b], если сущ-ет такое число C>0 : |f(x)|≤C д/люб.х принадл. [a;b]

1) т.Вейерштрасса – всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ция ограничена на этом отрезке

2) т.Вейерштрасса – если ф-ция непрерывна на [a;b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (Непр. на [a;b] наиб. знач. M в т.х₁ и наим. m в т.х₂ => все значения f(x) заключены m≤f(x)≤M д/люб.х принадл. [a;b])

3) Если f(x) непр. на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри [a;b] сущ-ет хотя бы 1 точка С, в которой значение f(x) обращается в 0

4) Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(a)=A, f(b)=B. Тогда для любого числа С, заключенного между А и В (A<C<B) найдется такая точка c (c∈[a;b]) такая что f(c)=С

(или непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает промежуточные значения)

5) Мн-во значений f(x) непрерывна на [ ] есть отрезок

27. Геометрический смысл f`(X)

Опр. Прямая y-y₀=k(x-x₀), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f`(x₀)) называется касательной к графику функции в данной точке с корд. (х₀; f(x₀))

Рассмотрим ситуацию, проход. через (.) с корд. (x₀ ; f(x₀)) и (x₀+x ; f(x₀+x))

При х0 (секущая стремиться занять положение касательной => касательная есть предельное положение секущей) => Геометрический смысл f`(x) состоит в том, что она = tg угла наклона касательной в (.) касания [f`(x₀)=k=tga]

Ур-ние касательной имеет вид:

Опр. Прямая, перпендикулярная касательной в (.) касания называется нормалью к кривой. Т.к. нормаль перпендикулярна к кас., то k_норм.= -1/k_кас.= -1/f`(x₀)

-уравнение нормали в точке х0.