Математическое моделирование в инженерном проектировании

Задачи и принципы математического моделирования в инженерном проектировании

Производственный комплекс современных крупных теплоэнергетических и промышленных предприятий насчитывает тысячи элементов разнотипного оборудования, которое различается как по целевому назначению и конструктивному исполнению, так и по структурной организации включения в технологическую линию с учетом взаимодействия с системами энергообеспечения. Режимные характеристики каждого такого элемента определяются требованиями технологического регламента и влияют на временные графики энергопотребления и выхода ВЭР производственного подразделения, к которому относится данный элемент оборудования.

Поиск эффективных решений по проектированию теплоэнергетического и теплотехнологического оборудования – чрезвычайно сложная задача, требующая проведения всесто­роннего анализа исходных данных. Максимальная объективность и качество принимаемых решений может быть достигнута только при реализации математических моделей, формируемых а зависи­мости от класса поставленной задачи. К числу таких задач, в частности, относятся:

• поиск наилучших режимов работы объектов во взаимосвязи с системами энергоснабжения;

• минимизация удельных материальных и энергетических затрат на проектируемый объект при его создании и последующей эксплуатации;

• организация эффективного управления объектом с учетом его внутренней структуры при наложении возмущений, связанных с материальными и энергетическими дебалансами.

Сложность поставленной задачи определяется иерархическим рядом объектов исследования: элемент конструкции  аппарат  установка и т.д. Данные объекты различны не только в от­ношении масштаба, но и по показателям работы – технологическим, энер­гетическим, термодинамическим, экономическим, экологическим, соци­альным. При решении задач определенного класса эти показатели доминируют, в других играют второстепенную роль или вводят условия ограничений.

Инструментом математического моделирования теплоэнергетического оборудования и выбора оптимальных решений, является сло­жившаяся к настоящему времени единая методология анализа и синтеза сложного теплоэнергетического оборудования и систем. Основные этапы проведения исследований представлены на рис. 1.

На основе первичной информации об объекте, последовательно проводятся:

1) анализ границ объекта, а также диапазоны допустимых значений входных и выходных параметров системы;

2) структурный анализ – для выявления закономерностей его внутренней организации и поиска слабых связей, декомпозиция по которым приведет к существенному упрощению поставленной задачи, а также позволит наилучшим образом внедрить в исходную схему дополнительные элементы (подсистемы), необходимые для усовершенствования исходного объекта;

3) Математическое описание объекта, которое позволит в процессе изменения ее параметров отыскать оптимальное решение.

4) синтез нового объекта – трансформация исходного объекта системы в новый, с улучшенными показателями.

5) сравнительный анализ эффективности деятельности исходного и синтезированного объекта по одному или нескольким выбранным критериям. Процесс поиска комплекса мероприятий продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.

Сбор первичной информации. При постановке задачи построения модели теплоэнергетического объекта исходная информация для проведения дальнейших расчетов и исследований, должна содержать следующие данные:

1. Общую характеристику объекта, его назначение.

2. Специфические особенности конструктивного исполнения объекта.

3. Указание материальных и энергетических потоков с описанием параметров используемых энергоносителей.

Часто при проектировании теплообменного и тепломассообменного оборудования бывают известными большинство реальных значений входных и выходных параметров. Их регистрируют для соблюдения технологического режима и заносят в режимные карты. Эффективность оборудования в таких случаях может быть определена на основе метода анализа, в основе которого лежит принцип «черного ящика».

Обычно при синтезе объекта возникает необходимость учитывать ряд ограничений, что сужает область возможных решений. Эти ограничения могут иметь вид неравенств, задающих пределы изменения какого-либо непрерывного параметра, или представлять совокупность дискретных характеристик объекта, учитывающих ситуации, когда какая-нибудь величина при достижении определенных параметрических условий должна скачкообразно измениться.

Анализ структуры внутренних и внешних связей объекта. Устройство основного оборудования в химической и нефтехимической отрасли характеризуется сложной структурной организацией, в которых нередко встречается наличие обратных потоков энергии и вещества. Это означает, что в схеме теплоэнергетической установки имеются и замкнутые последовательности элементов (контуры). При моделирования такого объекта каждый контур можно рассчитать только в том случае, если предварительно условно разорвать один из его потоков, а затем провести итерационное согласование условно-входных и условно-выходных переменных, определяющих значения параметров потока.

Построение математической модели теплоэнергетического объекта

Построение математической модели заключается в том, чтобы описать объект исследования в виде системы математических уравнений, в которой бы учитывались все принятые допущения для упрощения модели, а также условия, ограничивающие область допустимых решений.

Все технологические и теплоэнергетические системы управляемы. Система, посредством которой осуществляется управляющее воздействие, называемая системой управления, в общем виде, представлена на рис.2.

Рис.2. Обобщенная структура системы управления

Х- входные контролируемые параметры, Е – входные

неконтролируемые параметры; – выходные параметры;

U – управляющие воздействия

Таким образом, модель описывает систему конструирования и управления объектом для достижения цели.

В процессе моделирования какого-либо объекта, независимо от его сложности и уровня рассмотрения, выделяются следующие основные этапы:

Этап 1. Декомпозиция модели.

Этап 2. Выбор структуры элементов модели.

Этап 3. Композиция модели. Составление уравнений связи.

Этап 4. Идентификация параметров модели (оценка адекватности полученных решений).

При проектировании тепломассообменных установок используются зависимости, являющиеся количественной связью между характеристиками аппарата и влияющие на его теплофизические свойства. Как правило, наиболее важными являются математическое описание тепло­массообменных процессов и составление на основании этого математической модели установки.

Математическое описание тепломассообменного про­цесса, составляющее структуру модели, разрабатывает­ся исходя из целевой направленности его и задач ис­следования с учетом требуемой точности и достоверно­сти желаемых результатов.

Математическое описание обычно представляют в виде системы конечных или дифференциальных уравне­ний. При этом необходимо соблюдать следующие пра­вила:

1. Уравнений должно быть столько (не больше и не меньше), сколько имеется неизвестных величин, определяющих поведение физической системы;

2. Любое уравнение может быть решено относительно какой-то неизвестной величины в том случае, когда ос­тальные входящие в него неизвестные величины пoлyчeны из других уравнений;

3. Каждое уравнение решается относительно наиболее значимой из входящих в него переменных; при ее выбо­ре следует руководствоваться физическими аспектами задачи.

При составлении математической модели для тепло-массообменной установки наиболее часто встречаются следующие группы уравнений:

уравнение баланса масс и энергии;

уравнение описания ожидаемых в объектах процес­сов;

уравнение теоретических или эмпирических соотношений между параметрами процесса;

уравнение ограничения на параметры процесса.

При отсутствии или ограниченном количестве теоре­тических сведений об объекте уравнения могут пред­ставлять систему эмпирических зависимостей (например, ) получен­ных в результате статических обследований действую­щих объектов. Такие модели носят название статических и имеют вид соотношений между входными и выходны­ми параметрами объекта. В отличие от статических ма­тематические модели, построенные с учетом основных закономерностей процессов, протекающих в установках, более правильно характеризуют его и позволяют изучать более общие свойства объекта.

При выборе модели необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Модель должна наиболее полно отражать характер потоков вещества и энергии при простом математиче­ском описании;

2. Параметры модели могут быть определены экспери­ментальными, расчетными и другими способами;

3. При многофазных процессах модели выбираются для каждой из фаз, при этом модели могут быть одинаковы­ми или различными;

4. С достаточной для практики точностью все процессы тепломассообмена могут быть описаны моделями с со­средоточенными параметрами и моделями с распреде­ленными параметрами.

Необходимо иметь в виду, что с изменением режимов рассматриваемых процессов могут изменяться виды мо­делей. Тип математической модели существенно влияет на вид уравнений, используемых для построения мате­матического описания.

Синтез объекта представляет собой метод, позволяющий реализовать задачу обобщения полученных в процессе исследований данных, и на основе этого обобщения получить новый, модифицированный объект, обладающий наилучшими характеристиками из всех возможных в условиях, ограниченных областью определения.

Анализ эффективности синтезируемого объекта. Критерий оценки эффективности деятельности теплоэнергетического оборудования на определенных уровнях иерархической структуры выбирается в зависимости от поставленной задачи. Анализ эффективности теплопотребления на этих объектах обычно проводится по экономическому, энергетическому, термодинамическому (энтропийному или эксергетическому) критерию, показателю безотходности и пр.

Оптимизация как существующих, так и проектируе­мых систем и аппаратов может характеризоваться кри­териями оптимизации, которые в зависимости от поставленной задачи могут выражаться или функцией, или конкретной величиной. Когда строится новая модель системы, объекта или аппарата, критерий оптимизации целесообразно выражать функцией. Если производится совершенствование (модернизация) системы, объекта или аппарата, лучше использовать конкретные величины.

Критерии оптимизации используются, для оценки ко­личественных и качественных показателей проектируе­мого объекта. При этом важно, чтобы выбранные крите­рии оптимизации являлись главными показателями процесса проектирования объекта. Наиболее распростра­ненными критериями оптимизации являются экономические критерии:

минимум приведенных затрат;

минимум себестоимости;

максимум прибыли;

рентабельность.

При решении специальных задач основные критерии выбираются по условиям поставленной задачи.

При решении теплотехнических задач оптимизации наиболее типовыми являются ограничения: по количест­ву или качеству продукции, по экономическим, конъюнк­турным или технологическим соображениям, по соображениям экологии, охраны труда, санитарным требовани­ям и т. д.

Формулировка задачи оптимизации сводится к следующему:

1) выбор критерия оптимальности ;

2) наложение ограничений;

3) нахождение зависимости от входных параметров, определяемых математическим описанием, процесса:

= ; (1)

4) анализ зависимости (1) для определения того, ка­кие из целесообразно отнести к числу оптимизирую­щих воздействий.

В результате уравнение (1) приобретает вид:

= ; (2)

где первые i-факторов (оптимизирующие воздействия) в дальнейшем рассматриваются как переменные, а ос­тальные — как фиксированные, причем их можно также рассматривать как ограничения;

5) окончательная формулировка задачи: найти значе­ния оптимизирующих факторов - соответ­ствующие экстремальному значению функции (1) при соблюдении наложенных ограничений. Решение этой за­дачи составляет содержание математической теории оп­тимизации.

Критерий оптимальности должен быть единственной величиной (числом или функцией), которая наиболее полно соответствует поставленной задаче, так как при решении единственной задачи нельзя обеспечить одно­временно максимум и минимум величины или функции при различных значениях рассматриваемых параметров.

Критериями оптимизации тепломассообменных уста­новок могут быть конструктивные (площадь или поверхность тепло- и массообмена, общая масса или объем аппаратов, конструкционные материалы), термодинамиче­ские (к.п.д., теплогидродинамический критерий) или экономические показатели (критерий приведенных за­трат и др.).

Реализация модели на ЭВМ

Исходными данными для реализации модели на ЭВМ являются уравнения, описывающие рассматриваемый процесс. Для получения системы уравнений необходимо провести ряд подготовительных операций:

1) составить структурную схему соединения решающих элементов со­гласно решаемому уравнению,

2) выбрать масштабы представления пе­ременных величия и времени,

3) рассчитать параметры модели по ко­эффициентам исходных уравнений и выбранным значениям масштабов,

4) определить начальные условия и возмущения модели в физи­ческих величинах, которые будут представлять исходные переменные задачи.

Структурная схема для набора характеризуется максимальной детализацией: в ней указываются все основные вычислительные элементы, в том числе элементы входных цепей и цепей обратной связи решающих усилителей; в структурной схеме должны быть четко обозначены все основные связи и операционные блоки, участвующие в решении задачи.

Масштабы представления переменных выбираются на основании фактических данных об исследуемом процессе с соблюдением усло­вия минимальной погрешности решения задачи. Независимая пере­менная уравнения в аналоговых ЭВМ представляется временем. Масштаб времени выбирается, исходя из постановки задачи и требования наилучших условий работы модели. На ЭВМ можно работать в натуральном, ускоренном или растянутом масштабах времени.

Порядок решения состоит из следующих этапов:

1. постановка задачи - формулировка модели процесса;

2. математическая формулировка задачи - составление математического описания;

3. выбор численных методов решения уравнений,

4. разработка общего алгоритма;

5. программирование;

6. выявление ошибок (отладка программы);

7. решение.

Математическое описание процесса зависит от степени изучен­ности отдельных составляющих элементов и степени их взаимосвязи.

После выбора метода решения задачи составляется описание алгоритма. Основными требованиями к форме записи алгоритма являются его наглядность; компактность и выразительность. На практике обычно используются два способа описания алгоритмов: графический и операторный.

Графический способ основан на представлении. отдельных эле­ментов алгоритма графическими символами, а всего алгоритма — в виде блок-схемы. Графическое изображение элементов блок-схем приведено на рис. 2.

При операторном способе для описания алгоритма, попользуются специальные элементы — операторы и знаки для обозначения изме­нений в последовательности выполнения операторов.

Процесс подготовки алгоритма к его реализации, т. е. програм­мирование, заключается в том, что разрабатываются специальные языки записи алгоритмов решения, понятные человеку и машине;

Алгоритм задачи, записанный с помощью обычного языка и алгебраических формул, вводится в память машины.

Все ошибки, допускаемые в процессе подготовки и решения за­дачи, можно свести к следующим:

• ошибки в алгоритме,

• ошибки программирования,

ошибки при подготовке информации (ошибки, допущенные при перенесении программы и исходных данных на но­ситель информации),

ошибки вычислительной машины.

Основным правилом, используемым при отладке программ, явля­ется локализация ошибки. Программа разбивается на отдельные участки. После отладки одной части программы переходят к отладке другой ее части.