1.2.2. Законы распределения непрерывных случайных величин

1.1.2.1. Равномерное распределение

Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Рис. 1.3. Функция плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины

Интегральная функция распределения имеет вид:

Рис. 1.4. Интегральная функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Определим числовые характеристики случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

1.2.2.2. Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

где  - положительное число.

Интегральная функция распределения:

Рис. 1.5. Графики функции распределения и плотности распределения:

Числовые характеристики случайной величины, подчиненной показательному распределению:

Вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал:

1.2.2.3. Нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

.

Параметрами нормального распределения являются m и .

Рис. 1.6. График дифференциальной функции нормального распределения

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал ( ) выражается формулой

где – табулированная функция Лапласа.

Интегральная функция нормально распределенной случайной величины также представляется через функцию Лапласа

.

График интегральной функции распределения F(x) центрально симметричен относительно точки ( m, 0,5 ).

Числовые характеристики случайной величины, распределенной по нормальному закону:

Если параметр m=0, а =1, то случайная величина X называется нормализованной.

Рис. 1.7. График интегральной функции нормального распределения.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины :

Если принять  = 3, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример 5. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием 10 см., дисперсией 0,09 см. Найти вероятность того, что размеры наудачу взятой детали отличаются от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,06 см. Случайная величина Х – распределена по нормаль-ному закону.

Решение. Так как случайная величина распределена по нормальному закону, она характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием и средне квадратичным отклонением. Из условия задачи m=10, σ=0,09. Находим вероятность того, что размеры наудачу взятой детали отличаются от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,6 см:

Пример 6. X - нормально распределенная величина с параметрами a = 1, σ = 2. Найти .

Решение. Раскрывая модуль, запишем искомую вероятность в виде:

.

Выразим полученную случайную вероятность для нормальной случайной величины через функцию Лапласа, которую найдем по таблицам или с помощью компьютера:

.

Ответ: .

Пример 7. X - нормально распределенная величина с параметрами a = 1, σ = 2. Найти .

Решение. Поскольку из нормально распределенной случайной величины вычитается ее математическое ожидание, можем воспользоваться

формулой:

.

Получим:

.

Ответ: .