Глава 2. Математическая статистика
2.1. Самостоятельная работа по лекционному курсу
Выполнение данного вида работы предусматривает самостоятельное изучение (по выбору) следующих тем:
1. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
2. Оценка точности измерений.
3. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте.
4. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
5. Метод наибольшего правдоподобия.
6. Другие характеристики вариационного ряда.
7. Простейшие случаи криволинейной корреляции.
8. Понятие о множественной корреляции.
9. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
10. Проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
Все перечисленные темы можно найти литературе, представленной в конце методических указаний.
По одной из выбранных тем следует составить опорный конспект лекций, который желательно проиллюстрировать решенным самостоятельно заданием.
2.2. Самостоятельная работа по практическим занятиям
По данному виду работы предлагается построение линейной регрессионной модели по экспериментальным данным.
Создание математической модели технологического процесса или иного физического явления раскрывает перед исследователем возможность прогнозирования результатов процессов при выполнении определенных условий, изучение критических ситуаций, прогнозирование качества продукции и др.
При выполнении задания по построению регрессионной модели необходимо демонстрировать понимание терминов математической статистики, анализировать и делать выводы по полученным результатам вычислений. Выполнение данной работы направлено на систематизацию и применение знаний, полученных при изучении темы «Математическая статистика».
Рассмотрим вариант построения линейной регрессионной модели по экспериментальным данным.
Пример. В результате эксперимента получены следующие статистические данные (табл.2.1):
Таблица 2.1
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
8,35 |
3,50 |
10,50 |
6,00 |
11,35 |
9,50 |
12,15 |
6,00 |
12,85 |
9,50 |
8,74 |
1,49 |
10,75 |
2,50 |
11,50 |
6,00 |
12,25 |
8,05 |
13,15 |
9,02 |
9,25 |
6,40 |
10,76 |
5,74 |
11,50 |
9,00 |
12,35 |
5,01 |
13,25 |
6,49 |
9,50 |
4,50 |
11,00 |
8,50 |
11,62 |
8,50 |
12,50 |
7,03 |
13,26 |
10,50 |
9,75 |
5,00 |
11,00 |
5,26 |
11,75 |
10,00 |
12,76 |
7,53 |
13,40 |
7,51 |
10,24 |
7,00 |
11,25 |
8,00 |
12,00 |
9,00 |
12,85 |
6,01 |
13,50 |
10,00 |
13,65 |
9,50 |
14,50 |
10,00 |
13,75 |
8,51 |
14,75 |
12,00 |
14,00 |
11,00 |
15,25 |
12,50 |
14,23 |
8,40 |
16,00 |
11,50 |
14,26 |
10,00 |
16,00 |
13,00 |
14,51 |
9,50 |
16,25 |
12,00 |
|
|
|
|
|
|
Для приведенной выборки выполнить следующие задания.
1) Представить выборку в виде интервальных статистических рядов по случайным величинам X и Y.
2) Для случайной
величины X
построить полигон частот и гистограмму.
Найти эмпирическую функцию распределения
и построить ее график.
3) Найти выборочные числовые характеристики (выборочное среднее, несмещенную выборочную дисперсию, несмещенное среднее квадратичное отклонение) для случайных величин X и Y.
4) Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для случайной величины X с доверительной вероятностью β=0,95.
5) Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X.
6) Провести корреляционный анализ.
7) Построить линейную регрессионную модель.
Решение. Объем выборки равен n=42.
1. Для представления выборки в виде интервальных статистических рядов определяем длины интервалов для каждой случайной величины.
Для случайной величины X наибольшим значением является 16,25, наименьшим – 8,35. Найдем длину интервала по X:
Выбираем hx=1,2. Получаем семь интервалов. От наименьшего значения 8,35 отступим немного левее, таким образом, первый интервал начнем со значения 8,3. Подсчитаем частоту попадания случайной величины X в каждый интервал, причем условимся, что граничное значение будет входить в больший интервал. Интервальный статистический ряд для X принимает вид (табл.2.2):
Таблица 2.2
Грани-цы интер-валов |
8,3–9,5 |
9,5–10,7 |
10,7–11,9 |
11,9–13,1 |
13,1–14,3 |
14,3–15,5 |
15,5–16,7 |
|
3 |
4 |
10 |
8 |
10 |
3 |
4 |
Для случайной величины Y наибольшим значением является 13,0, наименьшим – 1,49. Найдем длину интервала по Y:
Выбираем hy=1,8. Получаем семь интервалов. От наименьшего значения 1,49 отступим немного левее, таким образом, первый интервал начнем со значения 1,5. Подсчитаем частоту попадания случайной величины Y в каждый интервал, причем условимся, что граничное значение будет входить в больший интервал. Интервальный статистический ряд для Y принимает вид (табл.2.3):
Таблица 2.3
Грани-цы интер-валов |
1,5–3,3 |
3,3–5,1 |
5,1–6,9 |
6,9–8,7 |
8,7–10,5 |
10,5–12,3 |
12,3–14,1 |
|
2 |
4 |
8 |
11 |
10 |
4 |
3 |
2. Чтобы построить полигон частот для случайной величины X, найдем середину и относительную частоту для каждого интервала (табл.2.4).
Таблица 2.4
Границы интервалов |
8,3–9,5 |
9,5–10,7 |
10,7–11,9 |
11,9–13,1 |
13,1–14,3 |
14,3–15,5 |
15,5–16,7 |
Середины интервалов
|
8,9 |
10,1 |
11,3 |
12,5 |
13,7 |
14,9 |
16,1 |
|
3 |
4 |
10 |
8 |
10 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис.2.1 по оси
абсцисс отмечаем середины интервалов
xi,
по оси ординат – относительные частоты
.
При построении гистограммы распределения по оси абсцисс отмечаем границы интервалов, по оси ординат – относительные частоты, деленные на длину интервала (рис.2.2).
Эмпирическую функцию распределения находим по формуле:
.
Для того чтобы найти значение эмпирической функции распределения при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина Х приняла значение меньше, чем х, и разделить на общее число произведенных опытов n.
Построим график эмпирической функции распределения (рис.2.3).
3. Для вычисления оценок числовых характеристик для X используем таблицу (2.5).
Таблица 2.5
Границы интервалов |
Середина интервала
|
Частота
|
|
|
8,3 – 9,5 |
8,9 |
3 |
26,7 |
237,63 |
9,5 – 10,7 |
10,1 |
4 |
40,4 |
408,04 |
10,7 – 11,9 |
11,3 |
10 |
113 |
1276,9 |
11,9 – 13,1 |
12,5 |
8 |
100 |
1250,0 |
13,1 – 14,3 |
13,7 |
10 |
137 |
1876,9 |
14,3 – 15,5 |
14,9 |
3 |
44,7 |
666,03 |
15,5 – 16,7 |
16,1 |
4 |
64,4 |
1036,84 |
Сумма |
|
42 |
526,2 |
6752,34 |
В формулу выборочного среднего подставляем сумму по четвертому столбцу (табл.2.5):
В формулу несмещенной выборочной дисперсии подставим сумму по пятому столбцу (табл.2.5):
Несмещенное
выборочное среднее квадратичное
отклонение:
Для вычисления оценок числовых характеристик для Y используем таблицу (2.6).
Таблица 2.6
Границы интервалов |
Середина интервала
|
Частота
|
|
|
1,5 – 3,3 |
2,4 |
2 |
4,8 |
11,52 |
3,3 – 5,1 |
4,2 |
4 |
16,8 |
70,56 |
5,1 – 6,9 |
6,0 |
8 |
48 |
288 |
6,9 – 8,7 |
7,8 |
11 |
85,8 |
669,24 |
8,7 – 10,5 |
9,6 |
10 |
96 |
921,6 |
10,5 – 12,3 |
11,4 |
4 |
45,6 |
519,84 |
12,3 – 14,1 |
13,2 |
3 |
39,6 |
522,72 |
Сумма |
|
42 |
336,6 |
3003,48 |
В формулу выборочного среднего подставляем сумму по четвертому столбцу (табл.2.6):
В формулу несмещенной выборочной дисперсии подставим сумму по пятому столбцу (табл.2.6):
Несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение:
4. Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии для случайной величины X при доверительной вероятности β=0,95.
По таблице 4 приложений находим значение статистики Стьюдента для доверительной вероятности β=0,95 и числа степеней свободы k=42-1=41:
Половина длины доверительного интервала:
Подставляем полученные значения в формулу доверительного интервала для математического ожидания:
Для определения доверительного интервала для дисперсии по таблице 3 приложений найдем значение статистики χ2 для уровня значимости α=1–β=1–0,95=0,05 и числа степеней свободы k=42-1=41:
Подставим найденные значения статистики χ2 в формулу доверительного интервала для дисперсии:
Таким образом, истинные значения математического ожидания M(x) и дисперсии D(x) попадают в полученные интервалы с вероятностью β=0,95.
5. Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины X с помощью критерия Пирсона.
График полигона частот и гистограммы (внешняя схожесть с кривой Гаусса) позволяют предположить, что генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения.
Выдвигаем основную гипотезу:
H0: генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения.
Тогда альтернативная гипотеза принимает вид:
H1: закон распределения не является нормальным.
Задаемся уровнем значимости α=0,05.
Расширяя границы первого и последнего интервалов (табл. 2.3), результаты всех вычислений сводим в таблицу 2.7.
Таблица 2.7
Границы интервалов |
Частота
|
|
|
|
–∞ – 9,5 |
|
0,0618 |
|
0,022 |
9,5 – 10,7 |
0,11440 |
|||
10,7 – 11,9 |
10 |
0,1983 |
8,3286 |
0,335 |
11,9 – 13,1 |
8 |
0,2396 |
10,0632 |
0,423 |
13,1 – 14,3 |
10 |
0,2218 |
9,9356 |
0,082 |
14,3 – 15,5 |
|
0,0986 |
|
0,018 |
15,5 – +∞ |
0,0654 |
|||
Сумма |
42 |
1,0062 |
1,0000 |
0,88 |
В таблице 2.7 четвертый столбец представляет результаты вычислений теоретических вероятностей, найденных в предположении, что случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, по формуле:
Значения
функции Лапласа
можно отыскать в таблице 2 приложения.
Найдем вероятности попадания в каждый интервал:
Теоретическая
частота
первых двух интервалов и последних двух
меньше 5, поэтому объединяем их во втором
и четвертом столбцах (табл. 2.7).
Пятый столбец
(табл. 2.7) является результатом вычислений
по
формуле:
Не следует забывать, что первых два и последние два интервала объединены.
Таким образом, суммой пятого столбца (табл.2.7) является расчетное значение критерия:
Так как после
объединения осталось 5 интервалов (l=5),
а по выборке определены оценки двух
параметров, т.е. r=2,
то число степеней свободы равно
.
По таблице
3 приложения найдем значение статистики
для p=1–α=0,95
и k=2:
Сравнивая полученные значения, видим, что
5,99> 0,88,
следовательно, гипотеза о нормальном распределении не отвергается.
6. Для проведения корреляционного анализа по данным выборки составим корреляционную таблицу (табл.2.8):
Таблица 2.8
Границы и середины интервалов для Y |
Границы и середины интервалов для X |
|
||||||
8,3–9,5
8,9 |
9,5–10,7
10,1 |
10,7–11,9
11,3 |
11,9–13,1
12,5 |
13,1–14,3
13,7 |
14,3–15,5
14,9 |
15,5–16,7
16,1 |
||
1,5–3,3
2,4 |
1 |
– |
1 |
– |
– |
– |
– |
2 |
3,3–5,1
4,2 |
1 |
2 |
– |
1 |
– |
– |
– |
4 |
5,1–6,9
6,0 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
– |
– |
8 |
6,9–8,7
7,8 |
– |
1 |
3 |
4 |
3 |
– |
– |
11 |
8,7–10,5
9,6 |
– |
– |
3 |
1 |
4 |
2 |
– |
10 |
10,5–12,3
11,4 |
– |
– |
– |
– |
2 |
1 |
1 |
4 |
12,3–14,1
13,2 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
3 |
3 |
|
3 |
4 |
10 |
8 |
10 |
3 |
4 |
42 |
Используя полученные в пункте 3 оценки числовых характеристик, найдем выборочный корреляционный момент по формуле:
Предварительно вычислим сумму:
Выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле:
Следует отметить, что близость выборочного коэффициента корреляции по модулю к единице является серьезным аргументом в пользу выбора линейной регрессионной модели.
7. Построим линейную регрессионную модель.
На основании метода наименьших квадратов получена линейная зависимость Y от X:
Подставляем полученные в пункте 3 оценки числовых характеристик:
Упростив выражение, окончательно получаем выборочное линейное уравнение регрессии:
Также можно построить уравнение зависимости X от Y:
Подставим полученные ранее оценки числовых характеристик:
Построим обе прямые
линии на корреляционном поле (рис.2.4).
Прямые линии пересекаются в точке
.
Угол между прямыми, так называемые
«ножницы», получился острым, что полностью
согласуется с полученным значением
выборочного коэффициента корреляции.
Полученная регрессионная модель позволяет прогнозировать значение случайной величины Y от X, и наоборот.
Рис.2.4