Типы шкал

Тип шкалы
Номинальная	Пол	1 - мужской 2 - женский
Номинальная	Семейное положение	1 -холост/не замужем 2 - женат/замужем 3 - вдовец/вдова 4 - разведен(а)
Порядковая	Курение	1-некурящий 2 - редко курящий 3 - интенсивно курящий 4 - очень интенсивно курящий
Порядковая	Месячный доход	1 - до 5000 руб 2 - 5001 - 8000 руб 3 - более 8000 руб
Интервальная	Коэффициент интеллекта (IQ)	80, 120, 160
Шкала отношений	Возраст, лет	30, 60

Мы видим, что кодирование переменной пол с помощью цифр 1 и 2 абсолютно произвольно, их можно было поменять местами или обозначить другими цифрами. Это не значит, что женщины стоят на ступеньку ниже мужчин. В этом случае говорят о переменных, относящихся к номинальной шкале. Такая же ситуация и с переменной семейное положение. Здесь также соответствие между числами и категориями семейного положения не имеет никакого эмпирического значения. Но в отличии от пола, эта переменная не является дихотомической - у нее четыре кодовых цифры вместо двух.

Переменная курение отсортирована в порядке значимости снизу вверх: умеренный курильщик курит больше, нежели некурящий, а сильно курящий - больше, чем умеренный курильщик и т.д. Эти переменные относятся к порядковой шкале. Однако эмпирическая значимость этих переменных не зависит от разницы между соседними численными значениями. Так, несмотря на то, что разница между значениями кодовых чисел для некурящего, редко курящего и интенсивно курящего в обоих случаях равна единице, нельзя утверждать, что фактическое различие между некурящим, изредка курящим и интенсивно курящим одинаково. Для этого данные понятия слишком расплывчаты. Классическими примерами переменных с порядковой шкалой являются также переменные, полученные в результате объединения величин в классы, такие, как месячный доход в нашем примере.

Рассмотрим теперь коэффициент интеллекта (IQ). И его абсолютные значения отображают порядковое отношение между респондентами, и разница между двумя значениями также имеет эмпирическую значимость. Например, если у Федора IQ равен 80, у Петра – 120 и у Ивана – 160, можно сказать, что Петр в сравнении с Федором настолько же интеллектуальнее насколько Иван в сравнении с Петром (а именно – на 40 единиц IQ). Однако, основываясь только на том, что значение IQ у Федора в два раза меньше, чем у Ивана, нельзя сделать вывод, что Иван вдвое умнее Федора. Такие переменные относятся к интервальной шкале.

Наивысшей статистической шкалой, на которой эмпирическую значимость приобретает и отношение двух значений, является шкала отношений. Примером переменной, относящейся к такой шкале, является возраст: если Андрею 30 лет, а Алексею 60, можно сказать, что Алексей вдвое старше Андрея. Шкалой отношений является температурная шкала Кельвина с абсолютным нулём температур.

На практике, в том числе при обработке данных в пакете Statistica, различие между переменными, относящимися к интервальной шкале и шкале отношений обычно несущественно.

От более богатой или мощной шкалы всегда можно перейти к более бедной. Так, непрерывные переменные можно категоризировать. Например, непрерывную случайную величину (СВ) Рост можно из шкалы отношений перевести в порядковую шкалу с градациями: низкий, средний, высокий.

Допустим, весь диапазон изменения интервальной переменной был разделен на область высоких, средних и низких значений и каждое наблюдение было отнесено к одной из трех категорий. Это означает, что явление, которое вначале описывалось в интервальной шкале, может быть описано также и в шкале наименований, а, следовательно, можно использовать для анализа этого явления все те статистические методы, которые требуют использования переменных в шкале наименований. Но надо учитывать, что при переходе к шкале наименований от шкал более высокого порядка, мы теряем часть информации о наблюдениях. Наблюдения, которые отличались друг от друга при описании их в интервальной шкале, могут восприниматься как одинаковые при описании их в шкале наименований. Поэтому рекомендуется применять шкалу наименований лишь тогда, когда нет возможности использовать шкалу более высокого порядка.

Генеральная и выборочная совокупности. Распределение случайной величины

Основным методом испытаний в математической статистике является выборочный метод. В самой общей форме он выглядит следующим образом. Имеется некоторая большая совокупность N объектов, называемая генеральной совокупностью. Генеральная совокупность - это как правило, лишь воображаемое, гипотетическое полное собрание объектов (людей, животных, растений или вещей), являющееся источником данных.

Из этой совокупности извлекаются n объектов, которые образуют выборку (выборка – часть генеральной совокупности, взятая для исследования); число n называется объемом выборки. Эти n объектов подвергаются детальному исследованию, по результатам которого требуется описать всю генеральную совокупность или какие-нибудь ее свойства, характеристики.

Выборочный метод применяют при исследовании семян на всхожесть, при различных демографических и экономических исследованиях, при контроле за производством и в медицинских исследованиях. На первый взгляд этот метод мало чем отличается от обычного метода малых проб. Например, при анализе вещества все исследования проводят над малыми количествами (пробами) этого вещества. Однако разница тут есть и весьма существенная: при анализе вещества мы заведомо знаем, что интересующий нас признак (количество тех или иных ионов) распределен по всей массе вещества равномерно и, следовательно, любая малая проба является точной копией всей совокупности вещества. При выборочном же методе исследуемый признак распределен по генеральной совокупности неравномерно, причем даже характер этой неравномерности неизвестен. Поэтому далеко не всякая выборка хорошо отражает структуру всей генеральной совокупности. Представьте себе, что вы хотите исследовать средний рост жителей некоторого города, а вам в качестве выборки предлагают сборную баскетбольную команду. Нетрудно понять, насколько будет искажен результат.

Не имея никаких сведений о генеральной совокупности, мы, делая выборку, можем полагаться только на случай – все прочие способы отбора будут необъективными, носящими следы влияния посторонних факторов. Все объекты нужно отбирать совершенно случайным образом. Иное дело, если мы заранее знаем, что генеральная совокупность состоит из нескольких классов, различных по своим характеристикам. При этих условиях случайную выборку лучше делать из каждого класса в отдельности. Например, изучая рост жителей, делают отдельную выборку мужчин, отдельную – женщин; иногда при этом учитывают возраст, профессию, место жительства.

Выборка, отражающая свойства генеральной совокупности называется представительной или репрезентативной.

Из случайного характера выборки вытекает, что любое суждение о генеральной совокупности по выборке само является случайным.

Набор допустимых значений х_i сам по себе очень слабо характеризует случайную величину. Для того, чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, а тем более делать дальнейшие прогнозы, необходимо не только указать, какие значения х_i она может принимать, но и как часто она принимает эти значения. Иными словами, нужно задать распределение этой случайной величины.

Способы задания случайных величин

Описание совокупности значений случайной величины с указанием вероятности каждого значения называется законом распределения этой величины.

В более общем случае, чтобы задать закон распределения дискретной случайной величины, нужно просто выписать все ее значения и при каждом из них соответствующую частость P_i (или частоту появления m_i). Обычно такую запись оформляют в виде таблицы, где верхняя строка содержит значения случайной величины, а нижняя – вероятности этих значений (или частоту появления m_i). Полученная таблица называется законом распределения случайной величины. Этот вид задания распределения случайной величины называется табличным. Рассмотрим примеры таких таблиц.

После получения (тем или иным способом) выборочной совокупности все ее объекты обследуются по отношению к определенной случайной величине – т.е. обследуемому признаку объекта. В результате этого получают наблюдаемые данные, которые представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Такой ряд данных обычно называют статистическим рядом. Анализ таких данных весьма затруднителен, и для изучения закономерностей полученные данные подвергаются определенной обработке.

Пример 1[3]: На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие 60 значений:

3; 1; 3; 1; 4;  2; 2; 4; 0; 3;  0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1;

4; 2; 2; 1; 1;  2; 1; 0; 3; 4;  1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3;

1; 2; 4; 2; 0;  2; 3; 1; 2; 5;  1; 2; 4; 2; 0;  2; 3; 1; 2; 5.

Очевидно, что число X является дискретной случайной величиной, а полученные данные есть значения этой случайной величины. Анализ исходных данных в таком виде весьма затруднителен.

Простейшей операцией является ранжирование опытных данных, результатом которого являются значения, расположенные в порядке возрастания или убывания. После проведения операции ранжирования опытные данные объединяют так, чтобы в каждой группе значения случайной величины были одинаковы. Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется вариантом, а изменение этого значения – варьированием. Варианты будем обозначать строчными буквами с соответствующими порядковому номеру группы индексами , где n – число групп. При этом имеет место .

Численность отдельной группы сгруппированного ряда данных называется частотой m_i, где i – индекс варианта, а отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется частостью (или относительной частотой) и обозначается , , т.е.

.

Дискретным вариационным рядом называется ранжированная совокупность вариантов x_i с соответствующими им частотами m_i или частностями . Статистический ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания называется вариационным рядом.

В результате проделанных операций были получены семь значений случайной величины (варианты): 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7. При этом значение 0 в этой группе встречается 8 раз, значение 1 – 17 раз, значение 2 – 16 раз, значение 3 – 10 раз, значение 4 – 6 раз, значение 5 – 2 раза, значение 7 – 1 раз.

Таким образом, получен дискретный ряд, в котором приведены вычисленные значения частот и частостей:

Таблица 1.2