Доверительный интервал для отдельных значений изучаемого признака при известном параметре σ

Пусть генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону N(a,σ), причем, параметр σ известен. Необходимо оценить доверительный интервал для самих значений измеряемого признака. В этом случае из формулы или выводим формулу доверительного интервала для отдельных значений СВ. Полуширина доверительного интервала

Его центр находится в точке a, левая граница имеет значение , правая граница , а длина интервала 2tσ.

Смысл сигмового, двухсигмового и трехсигмового интервалов.

Найдем вероятность того, что нормально распределенная величина будет отклоняться от математического ожидания на величину:

• стандартного отклонения, т.е. х=σ

P( )=2Ф( )=2Ф(1)=2·0,3413=0,6826.

• двойного стандартного отклонения, т.е. х=2σ

P( )=2Ф( )= 2Ф(2)=2·0,4772=0,9544

• тройного стандартного отклонения, т.е. х=3σ

P( )=2Ф( )= 2Ф(3)=2·0,49865=0,9973

Из данных уравнений мы делаем вывод, что при нормальном распределении 68% всех значений случайной величины лежит в пределах стандартного отклонения. Если отклонение равно двум стандартным отклонениям, то в пределах такого интервала лежит почти 95% значений случайной величины, в хвосты попадает менее 5% значений. И, наконец, при трехсигмовом интервале в нём заключено 99% всех значений, а в хвосты попадает лишь 1% значений переменной.

В медицинской практике обычно доверительный интервал отдельных значений определяют как выборочное среднее плюс-минус два стандартных отклонения, что очень важно при выяснении того, попадает ли анализ какого-либо пациента в «норму» или нет. Практическое применение s в биологических науках не ограничивается лишь сферой морфологических и анатомических исследований. Этот показатель хорошо зарекомендовал себя при упорядочивании представлений о сезонных явлениях в природе, о распределении и динамике численности организмов, а также при решении вопросов селекции и генетики.

Таким образом, стандартное отклонение представляет собой одну из наиболее обоснованных и эффективных описательных статистик. Однако, если необходимо сопоставить изменчивость признаков, представленных в разных единицах измерения (например, мм и г) этот показатель использовать нельзя, так как он измеряется в тех же величинах, что и средняя величина. Кроме того, одно и то же значение стандартного отклонения (например, s = 2) может указывать как на очень малую (при ), так и на очень большую изменчивость (при ). Для сравнения изменчивости признаков в таких случаях лучше применять коэффициент вариации, равный процентному отношению стандартного отклонения к средней арифметической величине, то есть коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах:

_{Чем меньше коэффициент вариации, тем однороднее выборка. Варьирование считается слабым, если не превосходит 10%. Если коэффициент вариации 10-20%, то это среднее варьирование. Сильным оно считается при Cv>20%.}

Статистическими исследованиями установлено, что изменчивость одного и того же признака, выраженная коэффициентом вариации, может отличаться как у различных видов, так и у разных популяций в пределах одного вида, причём эти отличия зачастую не случайны и имеют направленный характер. Это послужило основой для формирования единых методологических позиций при изучении индивидуальной и эволюционной изменчивости организмов. Интересные результаты, например, получены на основе анализа большого материала по изменчивости морфофизиологических признаков птиц. Оказалось, что у некоторых видов степень вариабельности интерьерных признаков четко отличается у северных и южных популяций, тогда как изменчивость индексов ряда внутренних органов не совпадает с географическими градиентами. Последнее объясняется функциональным значением внутренних органов. Например, в любой географической зоне требуется строго определённое соотношение массы тела и массы летательной мускулатуры у всех слагающих популяцию особей. Коэффициент вариации находит применение и в селекционной работе. Например, при сравнении двух сходных по продуктивности и качественным показателям сортов, предпочтение должно быть отдано тому из них, который при равных условиях обладает меньшей изменчивостью.

При оценке пригодности того или иного количественного метода принимают во внимание два основных критерия. Во-первых, точность, которая представляет собой степень отклонения результатов от истинных значений (о ней речь пойдет дальше), и, во-вторых, воспроизводимость, отражающую степень идентичности величин, получаемых при повторных определениях какого-то компонента в одном образце.

Воспроизводимость оценивают по коэффициенту вариабельности между разными анализами и в пределах одного анализа. Например, определяется воспроизводимость двух методов измерения СОЭ. Первый метод (модифицированный метод Вестергрина) дал величину σ = 1,0 мм при 10 мм, а второй (метод Линсенмайера) - σ =15 минут и = 180 минут.

Непосредственное сравнение средних квадратичных отклонений не дает ответа, так как речь идет о двух величинах, выраженных в разных единицах измерения. Следовательно, необходимо прибегнуть к коэффициенту вариации: V₁=(1/10)*100=10%;    V₂=(15/180)*100=8,33%.

Вывод: Воспроизводимость первого проверяемого метода ниже по сравнению со вторым (10% > 8,33%).

В американских специализированных клиниках были проведены программные обследования населения. При статистической обработке результатов более чем десятилетней работы по определению концентраций холестерина и триглицеридов химическими методами было показано, что коэффициенты вариабельности составляют, соответственно, <3% и 4%. Сходную воспроизводимость удается достичь и в случае автоматизированного анализа, основанного на использовании ферментативных методов. Согласно последним рекомендациям американской Национальной программы по изучению холестерина, коэффициенты вариабельности при проведении анализов не должны превышать 5%. Коэффициент вариации используется не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Интервальные оценки с использованием распределения Стьюдента при неизвестном σ

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент) в 1908 г. Он доказал, что в малой выборке действует особый закон распределения. При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента. Согласно распределению Стьюдента, доверительный интервал зависит как от доверительной вероятности Р, так и от объема выборки n. Чем меньше объем выборки, тем более случайным образом, а значит, менее надежно располагается в данном интервале неизвестный параметр.

Распределение таких выборок описывается формулой Госсета

Значения этой функции, как видно, зависят от t и k. Параметр k называется числом степеней свободы. Эта величина мало отличается от числа опытов n. Для разных задач k=n-1, k=n-2, k=2(n-1). При увеличении k→∞, а значит, числа опытов n→∞, значения функции Госсета приближается к значениям функции Гаусса, а график распределения Стьюдента стремится принять вид графика нормального распределения. При малых значениях опытов график Стьюдента пологий, «размытый». Это можно объяснить тем, что при одном и том же значении t, но разных n, вероятность будет разной. Поскольку вероятность численно равна площади криволинейной трапеции, то высота графиков окажется разной при разных t. Но общая площадь под любой трапецией одинакова, поскольку вероятность попасть в интервал от -∞ до +∞ в любом случае равна 1 (или 100%).

Рис. 1.12

Для выборок малого объема значения параметра t для разных n и разных доверительных вероятностей Р (или уровней значимости ) сведены в таблицу, которая носит название таблица Стьюдента. Из таблицы видно, что при уменьшении числа опытов, но при одной и той же доверительной вероятности, параметр t растет, что объясняется необходимостью расширения интервала, для того чтобы он накрыл неизвестное значение случайной величины. С другой стороны, при одном и том же числе опытов n, но увеличении вероятности того, что интервал накроет значение случайной величины, он должен быть также расширен, поэтому значения t также возрастают.

При этом можно обратить внимание на то, что при больших вероятностях при уменьшении выборки, значения t возрастают более резко, чем при малых вероятностях, а значит резко будет расширяться интервал. В силу двух последних обстоятельств параметр Стьюдента может иметь обозначение t_p,k.

Замечание. При достаточно большом объёме выборки на строке, обозначаемой в таблице Стьюдента значком бесконечности (∞) значения параметра t_p,k совпадают со значениями t из таблицы Лапласа при такой же вероятности.

Вариант 1

Пусть необходимо определить интервальную оценку для математического ожидания a с заданной доверительной вероятностью для нормально распределенной генеральной совокупности Х в том случае, когда генеральная дисперсия D неизвестна, а выборка имеет небольшой объем. Иначе говоря, будем решать задачу о том, насколько точно мы с помощью выборочного среднего оценили математическое ожидание случайной величины, насколько они отличаются друг от друга.

• По условию задачи необходимо определить .

• Вычислить степень свободы k=n-1. По k и заданной доверительной вероятности Р в таблице Стьюдента выбирается t_p,k.

• Вычислить по выборке стандартное отклонение или стандартную ошибку

• Определить полуширину доверительного интервала по формуле:

или

Определить границы доверительного интервала: α= – х, β= + х.

_{Т.о. критерий Стьюдента позволяет найти предельную случайную ошибку оценки математического ожидания при заданной доверительной вероятности (или уровне значимости), зная стандартную ошибку по выборочным данным и коэффициент tp,k.}

Вариант 2

Пусть необходимо по заданному доверительному интервалу (его полуширине) х найти доверительную вероятность Р того, что он накрывает математическое ожидание, если значение σ неизвестно.

• По условию задачи определить и или

• По известному значению х определить параметр t_p,k по формуле:

или

• Вычислить степень свободы k=n-1.

• Определить доверительную вероятность (или уровень значимости) по таблице Стьюдента, остановившись на равном или ближайшем меньшем значении t_p,k в таблице на строке k. Значение доверительной вероятности Р или уровня значимости будет указано вверху столбца.

Еще раз об «ошибке измерения» и ее вычислении

В заключение еще раз отметим, что расчет ошибок в малой выборке мало отличается от аналогичных вычислений в большой выборке. Различие заключается в том, что при малой выборке вероятность нашего утверждения несколько меньше, чем при большой выборке. Во многих случаях расхождения между найденными пределами могут достигать значительных размеров, что вряд ли удовлетво­ряет исследователей. Поэтому малую выборку следует применять в статистическом исследовании медицинских явлений с большой осторожностью, при соответствующем теоретическом и практическом обосновании.

Стандартная ошибка выборки дает некоторое представление об ошибке репрезентативности, т.e. об ошибке, с которой выборочная средняя представляет действительное значение генеральной средней. Именно она показывает, какова будет ошибка в среднем, если из одной и той же генеральной совокупности сделать много выборок одинакового объема. Однако в каждой конкретной выборке ошибка может существенно отличаться от стандартной ошибки. т.е. нет гарантии, что ошибка, которая действительно была допущена в конкретном выборочном исследовании, не превышает средней ошибки.

Поэтому гораздо полезнее было бы знать те границы, в которых «практически наверняка» находится действительная ошибка, допущенная в данной конкретной выборке. Эти границы (пределы) называют предельной ошибкой выборки (обозначим ее Δx). Предельная ошибка выборки показывает тот предел, которого практически наверняка не превосходит действительная ошибка. Иначе говоря, предельная ошибка Δx показывает действительно допущенную ошибку с избытком, с превышением (возможно, очень значительным) и тем самым гарантирует, что действительная ошибка не превосходит Δx.

Можно сказать, что ошибкой измерения будет являться разность между выборочным средним и математическим ожиданием а (истинным средним значением или средним в генеральной совокупности). Различие между ними х = а -  является ошибкой измерения истинного среднего. Величина такого интервала х вычисляется по формуле х= t_pk S_X . Т.о. для нахождения предельной ошибки измерения при заданной надежности (или уровне значимости) нужно стандартную ошибку умножить на критерий Стьюдента. Критерий Стьюдента может быть найден не только по таблице, но и с помощью модуля Вероятностный калькулятор пакета Statistica.

Формулу предельной ошибки можно записать и так:

Или:

Например, результат оценки истинного значения случайной величины «вес человека» по выборочным данным записывается таким образом:

а = 72,6  1,2 (кг) с вероятностью 95 %.

При вычислении ошибки величина t_p,k зависит от заданной доверительной вероятности. В медицине и биологии обычно используется достаточно высокая доверительная вероятность (надежность): 95 %, 99 % и 99,9 %.

Если при оценке вариабельности признака мы говорили, что 68% случайных величин накрывается σ-м интервалом, примерно 95% накрываются 2σ-м интервалом, а практически 99,8% накрываются 3σ-м интервалом, то в данном случае мы можем утверждать, что при превышении стандартной ошибки в 2 раза доверительный интервал будет с вероятностью 95% накрывать математическое ожидание СВ, а при превышении стандартной ошибки в 3 раза, доверительный интервал накрывает математическое ожидание (истинное значение) с надежностью в 99,8%.

Из анализа таблицы Стьюдента и приведенных примеров следует важный вывод: если проведено мало опытов n, то нельзя надеяться на высокую надежность результатов испытаний. В настоящее время малая выборка используется более широко, чем раньше. Этот метод применяют при изучении рыночных структур, при выборочной проверке качества продукции, в научно-исследовательской работе, медицинских обследованиях и в ряде других случаев.

Распределение, отклоняемое от нормального, его числовые характеристики

Когда распределение интересующего нас признака не симметрично относительного среднего, в выборке существуют выбросы, то распределение признака нужно описывать с помощью медианы и процентилей. Рассмотрим основные понятия, по которым принимается строгое решение о том, является ли распределение нормальным или нет, а также числовые характеристики несимметричного распределения случайной величины.

Асимметрия (Skewness):

Коэффициент асимметрии является безразмерной величиной и равен нулю у симметричных распределений. Если распределение имеет длинную часть, расположенную справа от вершины, то асимметрию называют положительной, а распределение с длинной частью кривой плотности, расположенной слева от вершины, называют отрицательной асимметрией.

Эксцесс (Kurtosis):

Коэффициент эксцесса количественно характеризует островершинность распределения. Для нормального распределения он равен нулю. Кривые распределения с острой вершиной имеют положительный эксцесс, а с плоской – отрицательный.

Если величины указанных показателей близки к нулю (не более 0,5), то распределение можно считать нормальным. Также их сравнивают с собственными ошибками. Асимметрия и эксцесс не должны превышать более чем втрое свои ошибки репрезентативности. Т.е. они должны быть примерно одного порядка. При соблюдении этого требования, распределение можно считать нормальным

Квартили – это 3 точки значения признака, которые делят упорядоченное (по возрастанию) множества наблюдений на 4 равные по численности части. Первый квартиль соответствует 25-му процентилю, второй – 50-му процентилю или медиане, третий квартиль соответствует 75-му процентилю.

Рис. 1.13

Рис. 1.14

Максимум – это наибольшее значение в выборке.

Медиана – это значение признака, которое делит упорядоченное (ранжированное) множество данных пополам так, что одна половина всех значений оказывается меньше медианы, а другая - больше. Это второй квартиль (Рис. 1.13 и 1.14).

Минимум – это наименьшее значение в выборке.

Мода - единственный параметр положения для описания качественных номинальных признаков (Mo) - это такое числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Моде или модальному интервалу признака, соответствует наибольший подъем (вершина) графика распределения частот. Моду можно вычислять и для качественных порядковых признаков.

Процентили - это 99 точек - значений признака, которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 частей, равных по численности. Иначе говоря, первый квартиль - это 25-й процентиль, второй квартиль – это 50-й процентиль, а третий квартиль – это 75-й процентиль.

Размах (разброс) – это разность между максимальной и минимальной величинами конкретного вариационного ряда. Чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина размаха, и наоборот.

Диаграмма размаха – это графическое представление несимметрично распределенных величин. Она выглядит так:

Изображённые на диаграмме варианты значения переменной (V) при определенных процентилях (квартилях) могут быть записаны следующим образом:

Значения медианы V_0,5=1,3 (иногда пишут Me=1,3); значение 25-го процентиля V_0,25=0,85; значение 75-го процентиля V_0,75=1,6.

29