Разностные схемы оптимального приемника.
Полностью известными называются сигналы, у которых известны информационные параметры (то есть параметры, которые модулируются).
Когерентный приём – это приём полностью известных сигналов.
Предположим,
что в канале действует наиболее типичная
помеха – гауссовский
аддитивный шум N(t), который в начале
будем считать белым (широкополосным)
со спектральной плотностью 
.
Это значит, что при передаче
сигнала 
(символа 
,
i=0,1, …,m-1) приходящий сигнал можно описать
моделью:
(3.11)
где
все 
известны.
Неизвестны лишь реализация помехи и
индекс i действительно переданного
сигнала, который и должна определить
решающая схема.
Будем так же считать, что все сигналы являются финитными.
Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального приёмника, анализирующего сигнал на тактовом интервале 0-Т по критерию максимального правдоподобия.
Алгоритм предусматривает ряд отдельных последовательных действий – «шагов»
1) Примем так называемую нулевую (или шумовую) гипотезу: S(t)=0; Z(t)=N(t) ,
То есть предположим, то на вход приемника поступает только шум.
2)
Задача затрудняется тем, что ширина
спектра сигнала бесконечна (поскольку
он финитный), а поэтому пространство
сигналов бесконечное. Для таких сигналов
не существует плотности вероятностей.
Однако существуют n-мерные плотности
вероятностей для любых n сечений сигнала.
Поэтому заменим белый шум квазибелым,
имеющим ту же одностороннюю спектральную
плотность мощности 
,
но только в некоторой полосе частот F.
3)
Возьмём на тактовом интервале (Т) n
равноотстоящих сечений через 
.
Отсчёты 
в
этих сечениях квазибелого гауссовского
шума независимы.
4) Поэтому n-мерная плотность вероятностей для взятых отсчётов:
(3.12)
где 
– дисперсия
(мощность) квазибелого шума.
5)
При гипотезе, что передавался символ 
,
согласно (3.11) 
.
Следовательно, условная n-мерная плотность
вероятности сечений Z(t) определяется
такой же формулой, как и (3.12), если 
заменить
разностью 
,
представляющей при этой гипотезе шум:
(3.13)
6)
Отношение правдоподобия для
сигнала 
(относительно
дополнительной гипотезы), вычисленное
для n сечений:
(3.14)
7)
Заменим дисперсию 
её
выражением 
Тогда 
8)
По правилу максимума правдоподобия в
случае квазибелого шума решающая схема
должна выбирать значение i, обеспечивающее
максимум 
.
Вместо максимума 
можно
отыскивать максимум его логарифма:
(3.16)
9)
Второй член в (3.16) можно при сравнении
гипотез не учитывать, он сокращается.
Тогда правило решения о том, что
передавался символ 
,
согласно (3.7) можно выразить системой
неравенств:
10)
Вернёмся теперь к исходной задаче для
белого шума. Для этого будем расширять
полосу F, тогда число сечений n стремится
к бесконечности, 
– к
нулю. Суммы в (3.17) обратятся в интегралы,
и правило решения определяется так:
(3.18)
Выражение (3.18) определяет те операции (алгоритм работы), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием Z(t).