Індикатриса кривини. Класифікація точок регулярної поверхні.

Нехай – регулярна поверхня, P – деяка її фіксована точка, – вектор-функція поверхні , у точці P проведено дотичну площину П поверхні . У кожному напрямку на площині П відкладено відрізок від точки P довжиною , де – нормована кривина поверхні у напрямку . Кінці цих відрізків описують деяку криву на дотичній площини П. Цю криву називають індикатрисою кривини поверхні у точці Р.

Знайдемо рівняння індикатриси кривини.

Введемо на площині П афінну систему координат з центром у точці P і базисом . Це можна зробити, оскільки не є колінеарними. Нехай М – точка індикатриси кривизни, що має у цій системі координат координати х, у. Тоді радіус-вектор цієї точки має вигляд: , а тому

.

З означенням індикатриси кривини маємо:

. (1)

Оскільки (х,у) – координати вектора у базисі , то співвідношення задає напрямок вектора . Але цей напрямок співпадає з напрямком у якому ми відкладали точку М. Тому у рівнянні (1) співвідношення можна замінити на :

(2)

Що можливо тільки коли (3). Це і є рівняння індикатриси кривини. Матриця А другої квадратичної форми має вигляд: , її визначник (4)

Перейдемо від введеної нами системи координат до декартової системи координат. Оскільки у якості першого вектора декартової системи координат можна взяти вектор, колінеарний до , то цей перехід можна зробити за допомогою матриці вигляду:

При заміні змінних за допомогою матриці Т, переходить в . і тому . Тому має той же знак, що і . Крім того, рівняння індикатриси кривини у Декартові системі координат має вигляд:

(5)

З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння (4) задає деяку криву другого порядку на поверхні П. Причому для цієї кривої можливі наступні варіанти:

1. , тобто . Індикатриса кривини – еліпс. Точку P називають еліптичною точкою поверхні .

2. , тобто . Індикатриса кривини – гіпербола. Точку P називають гіперболічною точкою поверхні .

3. . Індикатриса кривини – паралельні прямі. Точку P називають параболічною точкою поверхні .

4. . Індикатриса кривини може бути колом. Точку P називають емболічною точкою поверхні .

5. . Тобто у всіх напрямках від точки P нормальна кривизна нульова. У такому випадку P – точка сплощення.

Асимптотичні напрямки. Асимптотичні лінії на поверхні.

Нехай – регулярна поверхня, P – деяка її точка, – вектор-функція поверхні . Напрямок від точки P називається асимптотичним, якщо у цьому напрямку нормальна кривина нульова .

Крива на поверхні називається асимптотичною лінією поверхні , якщо у кожній точці цієї кривої її напрямок є асимптотичним. Очевидно, що якщо пряма лежить на поверхні, то ця пряма є асимптотичною лінією поверхні.

Оскільки за означенням нормальної кривини , то з випливає , тобто . Оскільки хоча б одне з не нульове, то отримаємо:

(1)

(2)

Оскільки дискримінант (2) має вигляд , то з попереднього параграфа випливає:

1. В еліптичній точці, де , асимптотичних напрямків не існує, зокрема це вірно і в емболічній точці.

2. В гіперболічній точці, де , існує два асимптотичних напрямки.

3. В параболічній точці, де , існує єдиний асимптотичний напрямок.

4. В точці сплощення всі напрямки є асимптотичними.

В загальному випадку розв’язки (2) мають вигляд:

(3)

Оскільки коефіцієнти це функції від , то (3) можна розв’язати як диференціальні рівняння. Інтегруючи ці рівняння, знаходимо внутрішні рівняння асимптотичних ліній задані в неявній формі: . Значення параметрів знаходяться з початкової умови: ці ліній проходять через деяку фіксовану точку . Координатні лінії, в фіксованій точки задають напрямки , що визначають асимптотичні напрямки у цій точці тоді і тільки тоді, коли у цій точці , що випливає з рівняння (1) після підстановки напрямків координатних ліній. Звідси випливає, що координатні лінії тоді і тільки тоді є асимптотичними лініями, коли в усіх точках поверхні .