Дериваційні формули.
Нехай
– регулярна поверхня,
– її вектор-функція. Тоді у кожній точці
поверхні
визначена також вектор-функція
– одиничний вектор головної нормалі
поверхні
у її точці з координатами
.
Дериваційні
формули виражають похідні вектор-функцій
через перші частинні похідні функції
і функцію
.
Зафіксуємо точку М на поверхні
.
Оскільки поверхня регулярна, то у точці
М
не є паралельними. Крім того у цій точці
(умови (1)). Звідси випливає, що
не компланарні. Тому у кожній точці М
поверхні існує система координат з
початком в М і базисними векторами
.
Тоді похідні вектор-функцій
у точці М можна лінійно виразити через
вектори
.
Таким чином мають місце рівняння:
(2)
(3)
Рівняння (2), (3) називаються дериваційними формулами. Ці формули виражають похідні другого порядку функції та похідні функції , як лінійні комбінації векторів .
Причому рівняння
(2), (3) виконуються у кожній точці поверхні
з координатами
.
Коефіцієнти цих лінійних виразів
називаються коефіцієнтами дериваційних
формул. Зауважимо, що ці коефіцієнти
також є функціями від
.
Покажемо, що
коефіцієнти дериваційних формул
залежать тільки від коефіцієнтів
.
Причому коефіцієнти
залежать тільки від
.
Оскільки завжди
,
то
(4)
Тоді помноживши скалярно обидві частини рівнянь (3) на вектор з урахуванням співвідношень (1), отримаємо:
.
Таким чином (3) приймає вигляд:
(3`)
Помножимо тепер
скалярно обидві частини рівнянь (3`)
спочатку на вектор
,
а потім на вектор
:
Отримали систему
лінійних рівнянь з невідомими
,
коефіцієнтами якої є коефіцієнти
квадратичних форм. Тобто цю систему
можна записати в вигляді:
(5)
Оскільки розв’язки системи (5) виражаються через коефіцієнти , то ці розв’язки, що е коефіцієнтами системи (3), залежать тільки від коефіцієнтів .
Помножимо скалярно рівняння системи (2) на вектор з урахуванням співвідношень (1), отримаємо:
Покажемо тепер,
що коефіцієнти
залежать тільки від коефіцієнтів
.
Розглянемо скалярні добутки:
(6)
Помножимо тепер скалярно рівняння (2) спочатку на вектор , а потім на вектор , враховуючи (6), маємо:
(7)
Отримали систему лінійних рівнянь (7) відносно невідомих , коефіцієнти якої виражаються через коефіцієнти та їх похідні. Тому систему (7) можна записати у вигляді:
(8)
Звідси, залежать тільки від коефіцієнтів та їх похідних.