4.2. Необхідні та достатні умови стійкості.

Вище було показано, що аналіз стійкості автоматичної системи полягає у дослідженні властивостей вільної складової вихідного сигналу Ув(і), яка визначається загальним рішенням диференціального рівняння (3) при Х(і)= 0. Або, іншими словами, для того, щоб відповісти на питання, стійка чи ні автоматична система, необхідно знайти та дослідити рішення диференціального рівняння

(4.5)

В загальному вигляді рішення такого рівняння відоме:

(4.6)

де Сі- постійні величини, які залежать від початкових умов та властивостей системи.

Si- корені характеристичного рівняння автоматичної системи:

(4.7)

Для того, щоб автоматична система була стійкою, при будь-яких початкових умовах повинна виконуватися умова:

(4.8)

Розглянемо властивості коренів характеристичного рівняння (4.7) Відомо, що його корені si можуть бути дійсними (si=a₁, ai,i = 1, r) або комплексно спряженими (Si=a i ± iωі, i = r +1, n). Тоді співвідношення (4.6)можна переписати у вигляді:

(4.9)

Очевидно, що умова (4.7) буде виконуватися при будь - яких початкових умовах тоді і тільки тоді, коли для усіх і = 1,n а_i < 0. Іншими словами, для того, щоб лінійна стаціонарна автоматична система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб усі корені її характеристичного рівняння мали негативні дійсні частини.

Можна показати, що для стійкої системи усі коефіцієнти a характеристичного рівняння повинні бути позитивними, але ця умова необхідна але не достатня. Якщо хоча б один коефіцієнт характеристичного рівняння буде менший або рівний нулю, автоматична система буде нестійкою.

4.3. Дослідження стійкості системи.

За заданою передавальною функцією CAP

Ф(р) = (4.10)

Дослідити стійкість системи за допомогою основних умов стійкості.

Передавальна функція задана в операторній формі. За відомими правилами визначаємо характеристичне рівняння:

A(p) = (4.11)

Визначаємо корені характеристичного рівняння (4.11):

P₁ = -2

P_2,3 = ;

P₂ = -0,25

P₃ = -1,25 .

Порівняємо знак дійсних частин коренів характеристичного рівняння :

Re [P₁] = -2;

Re[P₂l= -0,25;

Re[P₃] = -l,25.

Так, як Re [P1, Р₂, Р₃] < 0, то задана система стійка, так як виконані достатні умови стійкості системи. Необхідні умови також виконані.

5. Обґрунтування критерію Гауса - Гурвіца і дослідження CAP на стійкість.

   1. Сутність критерію.

Вище було наведено, що стійкість лінійної системи визначається положенням коренів її характеристичного рівняння на комплексній площині. Якщо корені відомі, то відповісти на питання, стійка автоматична система чи ні, не складає клопоту. Однак і корені рівнянь підвищених ступенів розшукати важко. Для рівнянь вище четвертого ступеню вони взагалі не виявляються алгебраїчно (у вигляді формул) через коефіцієнти характеристичного рівняння, а отже, і через параметри елементів, з яких складається система.

У зв'язку з цим теорія автоматичного керування повинна мати у своєму розпорядженні способи, за допомогою яких можна було б робити висновок про стійкість автоматичної системи безпосередньо по коефіцієнтах характеристичного рівняння, не враховуючи його коренів. Тим паче, що коефіцієнти характеристичного рівняння просто виявляються через параметри елементів, які складають автоматичну систему. Такі способи у теорії автоматичного керування називають критеріями стійкості. Вони уявляють собою правила, які дозволяють аналізувати стійкість системи без розв'язання іх характеристичних рівнянь.

Цінність критеріїв, про які йшла мова вище, полягає не тільки в усуванні необхідності обчислювання коренів, але і в можливості порівняно просто вияснити причину нестійкості, якщо така виявляється.

Знайшовши корені і установивши, наприклад, що система не стійка, дуже важко визначити, який елемент, який параметр системи необхідно змінити і в який бік, щоб зробити автоматичну систему стійкою.

Використання критеріїв стійкості дозволяє вирішувати цю задачу достатньо просто.

Відомі три критерії стійкості: Гауса - Гурвіца, критерій Михайлова і критерій Найквіста.

У рамках поставленої задачі зупинимося на алгебраїчному критерії Гурвіца. Він дозволяє записати умови стійкості у вигляді нерівностей, додержування яких гарантує, що усі корені характеристичного рівняння автоматичної системи будуть мати негативні дійсні частини, та служать необхідною і достатньою умовою стійкості лінійної стаціонарної системи. При складанні цих нерівностей достатньо мати значення коефіцієнтів характеристичного рівняння (5.1):

(5.1)

Складаються нерівності наступним чином:

Спочатку складається матриця Гурвіца

Δ_n розмірністю n n, де а_п > 0.

a	0	0	0	0	0	0
a2	a1	a0	0	0	0	0
a4	a3	a2	a1	a0	0	0
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
0	0	an	an-1	an-2	an-3	an-4
0	0	0	0	an-3	an-1	an-2
0	0	0	0	0	an-4	an-1
0	0	0	0	0	0	an

Δ_n =

Як бачимо матриця Гурвіца формується наступним чином: по головній діагоналі виписуються послідовно коефіцієнти характеристичного рівня, починаючи з а₀. Рядки матриці Гурвіца, починаючи з головної діагоналі, заповнюються вліво по зростаючих індексах, а в праворуч - по спадаючих. Клітини, на які приходяться коефіцієнти з індексами, меншими нуля_ч і більшими п, заповнюються нулями. З матриці Гурвіца складається ще (n -1) матриця:

Δ₁ = a₀;

a0	0
a1	a2

Δ₂ = · Δ₁ ;

a0	0	0
a2	a1	a0
0	a3	a2

Δ₃ = ;

a1	0	0	0	0	0	0	0
a3	a2	a2	a0	0	0	0	0
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
0	0	an	an-1	an-2	an-3	an-4	an-5
0	0	0	0	an	an-1	an-2	an-3
0	0	0	0	0	0	an	an-1

Δ_n-1 =

Згідно з критерієм Гурвіца необхідні та достатні умови стійкості полягають у позитивності визначень усіх, записаних вище, матриць, тобто:

Δ > 0; Δ₂> 0... Δ_{n -1}> 0; Δ_n > 0. (5.2)