3.1.2 Определение минимального диаметра тихоходного вала.

Предварительное определение диаметра вала, необходимое для выполнения эскиза тихоходного узла и последующего проверочного расчета, производят с помощью эмпирических зависимостей или по условному расчету на кручение. Так как размеры вала по длине еще не определены и не могут быть определены крутящие моменты. предварительно определяем диаметр вала из расчёта только на кручение по формуле:

d ₁ = 17∙(Т ₂ / |τ|)^1/3,

где Т ₂ – максимальный крутящий момент, передаваемый валом, Н*м,

|τ| - допускаемое напряжение, для сталей |τ| = 12 ÷ 35 МПа;

d ₁ = 17∙(197.7 / 19)^1/3 = 37.1 (мм).

Диаметр вала (стандартный ряд чисел):

10; 10.5; 11; 11.5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130; 140; 150; 160 и т.д.

Приравниваем полученное (расчётное) значение к стандартному. Из стандартного ряда чисел подходит – 38 (мм).

d ₁ = 38 (мм).

3 .1.3 Определение размеров вала.

Рис.2. Конструкция тихоходного вала редуктора.

Остальные диаметры вала назначаем по конструктивным соображениям с учётом удобства посадки на вал зубчатых колёс, подшипников качения и других деталей и необходимости их фиксации на валу в осевом направлении. Схема конструкции тихоходного вала редуктора представлена выше.

Диаметры вала в месте посадки подшипников должен быть равны внутреннему диаметру ближайшего по типоразмеру подшипника; при этом высота заплечика должна быть больше фаски на ступице муфты. Исходя из этих соображений:

d ₂ = d ₁ + 3…5 (мм); d ₂ = 38 + 7 = 45 (мм).

Выбираем по таблице ГОСТ 8338–75 подшипник лёгкой серии с габаритными размерами D = 85 (мм), В = 19 (мм). Для унификации подшипники обеих опор принимаем одинаковыми. Диаметр вала в месте установки уплотнения можно принять также равным d ₂ = 45 (мм).

Диаметр вала в месте посадки зубчатого колеса рассчитываем по формуле: d ₃ = d ₂ + 3…5 (мм),

d ₃ = 45 + 5 = 50 (мм).

Округляем полученное значение до ближайшего стандартного значения.

d ₃ = 50 (мм).

Диаметр буртика вала (заплечика) рассчитываем по формуле: d ₄ = d ₃ +10…15 (мм),

d ₄ = 50 + 10 = 60 (мм).

Округляем полученное значение до ближайшего стандартного значения.

d ₄ = 60 (мм).

3.1.4 Определяем длину вала.

Между торцом муфты и крышкой подшипника рекомендуется оставлять зазор, принимаем ℓ _В = 10 (мм).

H = 10 (мм).

Учитывая возможную неточность положения стенки корпуса, подшипники отодвигают от края стенки на расстояние Δ ₁ = 3 ÷ 6 (мм), выбираем Δ ₁ = 5 (мм).

Расстояние между внутренними стенками корпуса и зубчатым колесом редуктора можно определить из выражения:

Δ ₂ ≥ 1.15∙(0.025∙ а _w + 1), но Δ ₂ должно быть не менее 8 (мм),

Δ ₂ = 1.15∙(0.025∙ 125 + 1) = 4.74 (мм), принимаем Δ ₂ = 10 (мм).

Длина выходного участка вала зависит от типоразмера зубчатой муфты, по диаметру d ₁= 38 (мм) выбираем муфту:

тип 2, исполнение 2;

D = 170 (мм);

ℓ = 115 (мм);

Длину вала на участке ВD рассчитываем по следующей формуле:

ℓ ₁ = ℓ _М. / 4 + Н + ℓ_В + А,

А = С – В / 2 – 5 (мм),

С = 2.5∙d _{1(болта)} + δ,

δ – толщина стенки,

δ = 6…10 (мм),

d _{1(болта)} = 0.75∙d _фунд.,

d _фунд. = 0.03∙a _W + 10 (мм);

d _фунд. = 0.03∙125 + 10 = 13.75 (мм),

d _{1(болта)} = 0.75∙13.75 = 10.31 (мм),

Округляем полученное значение до ближайшего стандартного из ряда значений.

d _{1(болта)} = 12 (мм),

С = 2.5∙12 + 10 = 40 (мм),

А = 40 – 19 / 2 – 5 = 25.5 (мм),

ℓ ₁ = 115/ 4 + 10 + 10 + 25.5 = 74.25 (мм).

Длину вала на участках АС и СВ рассчитываем по следующей формуле:

ℓ ₂ = ℓ₃ = В / 2 + Δ ₁ + Δ ₂ + b ₂ / 2;

ℓ ₂ = ℓ ₃ = 19 / 2 + 5 + 10 + 62.5 / 2 = 55.75 (мм).

Длину вала на участке АЕ рассчитываем по следующей формуле:

ℓ ₄ = ℓ ₃ + b ₂ / 2 – 5 (мм),

ℓ ₄ = 55.75 + 62.5 / 2 – 5 = 82 (мм).

Диаметры крепёжных болтов:

d _{1(болта)} = 12 (мм).

d _{2(болта)} = 0.5∙d _фунд.,

d _{2(болта)} = 0.5∙13.75 = 6.875 (мм).

Округляем полученное значение до ближайшего стандартного из ряда значений.

d _{2(болта)} = 8 (мм).

d _{3(болта)} = 0.3...0.4∙ d _фунд.,

d _{3(болта)} = 0.3∙13.75 = 4.13 (мм).

Округляем полученное значение до ближайшего стандартного из ряда значений.

d _{3(болта)} = 6 (мм).

3.2 Проверочный (уточнённый) расчёт вала.

3.2.1 Составление расчётной схемы вала редуктора (Рис.3).

Окружное усилие на зубчатом колесе:

Р = 2∙Т ₂ / d ₂, где d ₂ – диаметр делительной окружности колеса

Р = 2∙124.3 / 0.133 = 1869 (Н).

Радиальное усилие на зубчатом колесе:

Т = Р∙tg(а _w) / cos(β), где а _w – угол зацепления

Т = 1869∙tg(20 ^о) / cos(12 ^о50`18``) = 697 (Н).

Осевое усилие на зубчатом колесе:

А = Р∙ tg(β),

А = 1869∙tg(12 ^о50`18``) = 426 (Н).

Рис.3. Расчётная схема вала редуктора.

2. Построение эпюр моментов в вертикальной плоскости (Рис.4).

Рис.4. Схема действия сил (а), эпюра изгибающих моментов (б) в плоскости уАz.

Определение опорных реакций от сил Т и А:

∑М_В = 0;

Y_A∙(ℓ ₂ + ℓ _3­) - Т∙ℓ _3­ + А∙(d₂ / 2) = 0;

Y_A = (Т∙ℓ _3­ - А∙(d₂ / 2)) / (ℓ ₂ + ℓ _3­);

Y_A = (697∙46.5 – 426∙(134 / 2)) / (46.5 + 46.5) = 41,6 (Н);

∑М_А = 0;

Y_В∙(ℓ ₂ + ℓ _3­) - Т∙ℓ _3­ - А∙(d₂ / 2) = 0;

Y_В = (Т∙ℓ _3­ + А∙(d₂ / 2)) / (ℓ ₂ + ℓ _3­);

Y_В = (697∙46.5 + 426∙(134 / 2)) / (46.5 + 46.5) = 655,4 (Н).

Проверяем правильность определения реакций:

∑Y = 0;

Y_A – Т + Y_В = 0;

41.6 – 697 + 655.4 = 0.

Реакции найдены правильно.

Строим эпюру изгибающих моментов от сил Т и А.

М _XC1 = Y _A∙ℓ ₃,

М _XC1 = 41.6∙0.046 = 1.9 (Нм).

М _XC2 = Y _B∙ℓ ₂,

М _XC2 = 655.4∙0.046 = 30.1 (Нм).

М _XЕ = Y _B∙(ℓ ₃ + ℓ ₂ - ℓ ₄),

М _XЕ = 655.4∙(0.046 + 0.046 – 0.066) = 17.7 (Нм).

Построение эпюр моментов в горизонтальной плоскости (Рис.5).

Определяем опорные реакции от силы Р:

∑М_В = 0;

X_A∙(ℓ ₂ + ℓ _3­) - Р∙ℓ _3­ = 0;

X_A = Р∙ℓ _3­ / (ℓ ₂ + ℓ _3­);

X_A = 1869∙46.5 / (46.5 + 46.5) = 934,5 (Н);

∑М_А = 0;

X_В∙(ℓ ₂ + ℓ _3­) - Р∙ℓ _3­ = 0;

X_В = Р∙ℓ _3­ / (ℓ ₂ + ℓ _3­);

X_В = 1869∙46.5 / (46.5 + 46.5) = 934,5 (Н).

Проверка правильности нахождения реакций:

∑X = 0;

Рис.5. Схема действия сил (а) и эпюра изгибающих моментов (б) в плоскости xAz.

X_А – Р + X_В =0;

934.5 – 1869 + 934.5 = 0.

Реакции найдены правильно.

Строим эпюру изгибающих моментов от силы Р.

М _ZC1 = X _A∙ℓ ₃,

М _ZC1 = 934.5∙0.046 = 43 (Нм).

М _ZC2 = X _В∙ℓ ₂,

М _ZC2 = 934.5∙0.046 = 43 (Нм).

М _ZЕ = X _В∙(ℓ ₃ + ℓ ₂ - ℓ ₄),

М _ZЕ = 934.5∙(0.046 + 0.046 – 0.066) = 25.2 (Нм).

Построение суммарной эпюры изгибающего момента от сил Р, Т и А (Рис.6).

Ординаты суммарной эпюры изгибающих моментов от совместного действия сил Р, Т и А (Рис.4) находим по формуле:

М _uC = (М² _XC + М²_ZC)^1/2.

Строим суммарную эпюру изгибающего момента от сил Р, Т и А.

М _uC1 = (М² _XC1 + М²_ZC)^1/2,

М _uC1 = (1.9 ² + 43 ²) ^1/2 = 43.1 (Нм).

М _uC2 = (М² _XC2 + М²_ZC)^1/2,

М _uC2 = (30.1 ² + 43 ²) ^1/2 = 52.5 (Нм).

Рис.6. Эпюра изгибающего момента от совместного действия сил Р, Т и А.

М _uЕ = (М² _XЕ + М²_ZЕ)^1/2,

М _uЕ = (17.7 ² + 25.2 ²) ^1/2 = 30.8.

Построение эпюры моментов от действия силы Q (Рис.7).

В большинстве случаев муфты из-за несоосности соединяемых валов нагружают вал дополнительно поперечной силой Q.

На тихоходном валу редуктора общего назначения должна быть предусмотрена расчётная консольная нагрузка, приложенная к середине выступающего конца вала и равная Q ≈ 130∙(Т ₂) ^1/2 для одноступенчатых и планетарных и Q ≈ 260∙(Т ₂) ^1/2 для многоступенчатых и червячных редукторов, где Т ₂ – крутящий момент.

В нашем случае:

Q ≈ 130∙(124.28) ^1/2 = 1449.3 (Н).

Определяем опорные реакции от силы Q.

∑М _В = 0;

-R _AQ∙(ℓ ₂ + ℓ _3­) + Q∙ℓ ₁ = 0;

R _AQ = Q∙ℓ ₁ / (ℓ ₂ + ℓ _3­),

R _AQ = 1449.3∙60.5 / (46.5 + 46.5) = 942.8 (Н).

∑М _А = 0;

-R _ВQ∙(ℓ ₂ + ℓ _3­) + Q∙(ℓ ₁ + ℓ ₂ + ℓ ₃) = 0;

R _ВQ = Q∙(ℓ ₁ + ℓ ₂ + ℓ ₃) / (ℓ ₂ + ℓ _3­),

R _ВQ = 1449.3∙(46.5 + 46.5 + 60.5) / (46.5 + 46.5) = 2392.2 (Н).

Проверяем правильность определения реакций:

R _AQ - R _ВQ + Q = 0,

942.8 – 2392.2 + 1449.3 = 0.

Реакции найдены правильно.

Строим эпюру изгибающего момента от силы Q.

М _МВ = R _АQ∙(ℓ ₂ + ℓ _3­),

М _МВ = 942.8∙(0.046 + 0.046) = 86.8 (Нм).

М _МС = R _АQ∙ℓ ₃,

М _МС = 942.8∙0.046 = 43.4 (Нм).

М _МЕ = R _АQ∙ℓ _4­,

М _МЕ = 942.8∙0.066 = 62.2 (Нм).

66

Рис.7. Схема действия силы Q (а) и эпюра изгибающих моментов (б).

Построение суммарной эпюры изгибающих моментов от действия всех сил.

Ординаты суммарной эпюры изгибающих моментов от совместного действия сил R, A, T и Q находим по формуле:

М _∑ = М _u + М _М.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов от действия всех сил (Рис.8).

М _∑С = М _uС + М _МС;

М _∑С1 = М _uС1 + М _МС,

Р

Е

ис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.

М _∑С1 = 43.1 + 43.4 = 86.5 (Нм),

М _∑С2 = М _uС2 + М _МС,

М _∑С2 = 52.5 + 43.4 = 95.9 (Нм).

М _∑В = М _uВ + М _МВ,

М _∑В = 0 + 86.8 = 86.8 (Нм).

М _∑Е = М _uЕ + М _МЕ,

М _∑Е = 30.8 + 62.2 = 93

Построение эпюры крутящих моментов (Рис.9).

Р ис.9. Эпюра крутящих моментов.

Определение опасных сечений вала.

Намечаем опасные сечения вала, которые подлежат проверки на предел выносливости: сечение С (шпоночный паз и действует М _max) и Е (канавка с галтелью).

При расчёте учитываем напряжения от совместного действия изгибающих и крутящих моментов. Действующие на вал нормальные и поперечные силы не учитываем, так как они вызывают в сечениях вала напряжения, значительно меньшие, чем от изгибающих и крутящих моментов.

Проверка прочности сечения в точке С (Рис.2, сечение К – К).

В сечении К – К действует изгибающий момент М _и = 95.9 (Нм) и крутящий момент М _к = 124.3 (Нм). Напряжения изгиба изменяются по симметричному циклу, напряжение кручения – по отнулевому (пульсирующему) циклу.

σ _а = σ _и = М_{­ и} / W _{и. нетто},

τ _а = τ _m = τ _к / 2 = М _к / 2∙ W _{к. нетто},

W _{и. нетто} – момент сопротивления изгибу сечения, ослабленного шпоночной канавкой,

W _{к. нетто} – момент сопротивления кручения сечения, ослабленного шпоночной канавкой.

Рис.10. Циклы напряжений изгиба σ (а) и кручения τ (б), действующих на тихоходном вале.

В нашем случае диаметр вала равен 40 мм (d ₃ = 40 мм), тогда:

b = 12 (мм),

h = 8 (мм),

b и t ₁ – ширина и высота шпонки.

W _{и. нетто} = (π∙d ³ / 32) – (b∙t ₁∙(d – t ₁) ² / 2∙d),

W _{к. нетто} = (π∙d ³ / 16) – (b∙t ₁∙(d – t ₁) ² / 2∙d),

W _{и. нетто} = (3.14∙0.04 ³ / 32) – 0.012∙0.008∙(0.04 – 0.008) ² / 2∙0.04 = 5.51∙10 ^-6 (м ³) = 5.51 (см ³),

Рис.11. Эскиз опасного сечения вала.

W _{к. нетто} = (3.14∙0.04 ³ / 16) – 0.012∙0.008∙(0.04 – 0.008) ² / 2∙0.04 = 11.79∙10 ^-6 (м ³) = 11.79 (см ³).

σ _а = σ _и = 95.9 / 5.51∙10 ^-6 = 17.4∙10 ⁶ (Па) = 17.4 (МПа).

σ _m = 0.

τ _а = τ _m = 124.3 / (2∙11.79∙10 ^-6) = 5.3∙10 ⁶ (Па) = 5.3 (МПа).

Коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям вычисляем по формулам:

n _σ = σ _-1 / ((к _σ / ε _σ∙β)∙σ _а + ψ _σ∙σ _m),

n _τ = τ _-1 / ((к _τ / ε _τ∙β)∙τ _а + ψ _τ∙τ _m);

σ _-1 – предел выносливости при изгибе для симметричного цикла напряжений,

τ _-1 – предел выносливости при кручении для симметричного цикла напряжений,

к _σ – коэффициент концентрации нагрузки для нормальных напряжений,

к _τ – коэффициент концентрации нагрузки для касательных напряжений,

ε _σ – масштабный фактор для нормальных напряжений,

ε _τ – масштабный фактор для касательных напряжений,

β – коэффициент учитывающий шероховатость поверхности,

ψ _σ, ψ _τ – коэффициенты, учитывающие соотношение между пределами выносливости при симметричном и пульсационным циклами напряжений.

σ _-1 = 250 (МПа); τ _-1 = 140 (МПа); к _σ = 1.89; к _τ = 1.71; ε _σ = 0.85; ε _τ = 0.85; β = 0.9; ψ _σ = 0.2; ψ _τ = 0.1.

n _σ = 250 / ((1.89 / 0.85∙0.9)∙17.4 + 0.2∙0) = 7.2.

n _τ = 140 / ((1.71 / 0.85∙0.9)∙5.3 + 0.1∙5.3) = 13.8.

Расчётный коэффициент запаса прочности вала в сечении К – К определяем из выражения:

n = n _σ∙n _τ / (n² _σ + n² _τ) ^1/2;

n = 7.2∙13.8 / (7.2 ² + 13.8 ²) ^1/2 = 6.39.

Так как для валов редукторов допускаемое значение n ≥ 2.5, то работоспособность вала при расчёте на выносливость обеспечивается.

Проверка прочности вала в сечении Е – Е.

Определяем коэффициент запаса усталостной прочности в сильно нагруженном сечении Е – Е, в котором концентрация напряжений обусловлена канавкой с галтелью. Это сечение расположено на расстоянии 20 мм от сечения К – К.

В сечении Е – Е действует изгибающий момент М _и = 93 (Нм) и крутящий момент М _к = 124.3 (Нм). Тогда номинальные напряжения в сечении Е – Е:

W _{и. нетто} = (π∙d ³ / 32),

W _{к. нетто} = (π∙d ³ / 16);

W _{к. нетто} = (3.14∙0.04 ³ / 16) = 12.5∙10 ^-6 (м ³) = 12.5 (см ³),

W _{и. нетто} = (3.14∙0.04 ³ / 32) = 6.2∙10 ^-6 (м ³) = 6.2 (см ³).

σ _а = σ _и = М_{­ и} / W _{и.нетто},

τ _а = τ _m = τ _к / 2 = М _к / 2∙ W _{к. нетто},

σ _а = σ _и = 93 / 6.2∙10 ^-6 = 15∙10 ⁶ (Па) = 15 (МПа),

τ _а = τ _m = 124.3 / 2∙12.5∙10 ^-6 = 5∙10 ⁶ (Па) = 5 (МПа),

σ _m = 0.

Коэффициенты запаса прочности вала в сечении Е – Е по нормальным n _σ и касательным n _τ напряжениям определяем по формулам:

n _σ = σ _-1 / ((к _σ / ε _σ∙β)∙σ _а + ψ _σ∙σ _m),

n _τ = τ _-1 / ((к _τ / ε _τ∙β)∙τ _а + ψ _τ∙τ _m);

σ _-1 = 250 (МПа); τ _-1 = 140 (МПа); к _σ = 1.55; к _τ = 1.42; ε _σ = 0.85; ε _τ = 0.85; β = 0.9; ψ _σ = 0.15; ψ _τ = 0.1.

n _σ = 250 / ((1.55 / 0.85∙0.9)∙15 + 0.15∙0) = 10.2,

n _τ = 140 / ((1.42 / 0.85∙0.9)∙5 + 0.1∙5) = 17.5.

Расчётный коэффициент запаса прочности вала в сечении Е – Е:

n = n _σ∙n _τ / (n² _σ + n² _τ) ^1/2;

n = 10.2∙17.5 / (10.2 ² + 17.5 ²) ^1/2 = 8.8.

Следовательно, прочность вала в сечении Е – Е также обеспечена.

Расчёт на статическую прочность.

Валы проверяют на статическую прочность для предупреждения пластических деформаций в период действия пиковых нагрузок.

Проверяем вал в сечении К – К .

σ _пик. = σ _и∙γ,

σ _пик. = 17.4∙2.2 = 38.3 (МПа).

τ _пик. = 2∙τ _m∙γ,

τ _пик. = 2∙5.3∙2.2 = 23.3 (МПа).

n _σТ = σ _Т / σ _пик.,

n _σТ = 300 / 38.3 = 7.8.

n _τТ = τ _Т / τ _пик.,

τ _Т = 0.58∙ σ _Т,

τ _Т = 0.58∙300 = 174 (МПа).

n _τТ = 174 / 23.3 = 7.5.

n _Т = n _σТ∙ n _τТ / (n² _σТ + n² _τТ) ^1/2,

n _Т = 7.8∙7.5 / (7.8 ² + 7.5 ²) ^1/2 = 5.4.

Прочность вала по статической прочности обеспечена.

Библиографический список.

1. Е.А.Свистунов, Н.А.Чиченёв. «Расчёт деталей и узлов металлургических машин». 1985.

2. С.А.Чернавский и др. «Проектирование механических передач». 1984.

3. А.Н.Веремеевич. «Конспект лекций».

4. Е.А.Свистунов, Н.А.Чиченёв «Руководство к решению задач по прикладной механике».