Основні правила диференціювання

1. Якщо у = с, де с = const, то .

2. .

3. .

4. , де .

5. .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію : .

Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна обчислити похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

.

.

Приклад. Обчислити похідну для функції .

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай , де , тобто . Функція називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 1. Якщо та — диференційовані функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння визначає як неявну функцію від . Надалі будем вважати, що ця функція — диференційована.

Продиференціювавши за обидві частини рівняння , дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти з рівняння .

 Оскільки є функцією від , то розглядатимемо як складну функцію від , тобто .

Продиференціювавши по обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовані функції

та .

Теорема 2. Похідна оберненої функції по змінній дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

 Задана функція обернена до функції .

Згідно з теоремою 2 можна записати

.

Звідси .

Якщо в останньому виразі замість записати , то дістанемо

.

Похідні від складних функцій

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

Нехай, , тоді

.

Похідна параметрично заданої функції

Нехай функцію від задано параметричними рівняннями:

.

Припустимо, що функції мають похідні, і що функція має обернену функцію , яка також є диференційовною. Тоді визначену параметричними рівняннями функціональну залежність можна розглядати як складну функцію , ( — проміжний аргумент).

На підставі теорем 1 та 2 маємо:

, .

Звідки або .

Знайдена формула дає можливість знаходити похідну від параметрично заданої функції, не знаходячи явної залежності

Приклад. Функцію від задано параметричними рівняннями:

.

Знайти похідну : а) при будь-якому ; б) при .

 а) ;

б) .