Асимптоти

Змінна точка М рухається по кривій у нескінченність, ко- ли відстань від цієї точки до початку координат необмежено зростає.

Означення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань d від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля (13). Асимптоти бувають вертикаль­ні й похилі.

Рис. 13

Вертикальні асимптоти. Якщо

, або ,

або , то пряма х = а є вертикальною асимптотою для графіка функції .

Приклад. Крива має вертикаль­ну асимптоту х = 5, оскільки (рис. 14).

Рис. 14

Похилі асимптоти. Нехай крива має похилу асимптоту , тоді

. (13)

Якщо хоча б одна з границь (13) не існує, то крива похилих асимптот у відповідній напівплощині не має.

Приклад. Визначити асимптоти кривої .

l 1. Оскільки

,

то пряма (вісь Ох) є вертикальною асимптотою.

2. Нехай похила асимптота має рівняння , тоді

Отже, пряма — похила асимптота для графіка функції (рис. 15).

Рис. 15

зауваження. Похилі асимптоти при та можуть бути різними прямими, тому краще обчислювати значення та окремо для та .

План дослідження функцій і побудови їхніх графіків

При дослідженні функцій треба:

1. Знайти область визначення функції.

2. Встановити парність (непарність) і періодичність функції.

3. Знайти точки розриву функції та їх характер.

4. Визначити точки перетину графіка функції з осями координат.

5. Знайти точки екстремуму та обчислити значення функції у цих точках.

6. Визначити інтервали зростання й спадання функції.

7. Знайти точки перегину, інтервали опуклості й вгнутості.

8. Знайти асимптоти.

9. Знайти граничні значення функції, коли х прямує до граничних точок області визначення.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

l 1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х за винятком значення . Звідси її область визначення .

2. Точка є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

.

Як ліворуч, так і праворуч точки маємо нескінченний розрив.

Точка — точка розриву другого роду.

3. Вертикальні асимптоти. Пряма є вертикальною асимптотою.

4. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат: з віссю Ох: , ; з віссю Оу: , .

5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції, результати заносимо у табл.3:

— критична точка. При не існує, але у цій точці сама функція теж не існує. Дослідимо критичну точку на екстремум:

при ;

при .

Таблиця 3

х		0	(0, 1)	1
	–	0	+	Не існує	–
у		ymin= –1		Не існує

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з «–» на «+», через це в точці функція має мінімум:

.

У точці функція не визначена. При , отже, функція на цьому інтервалі спадає.

6. Точки перегину та інтервали опуклості й вгнутості графіка функції знаходимо за допомогою другої похідної:

; при не існує, але в цій точці не існує і сама функція.

Дослідимо точку :

при ;

при .

Друга похідна, проходячи через , змінює знак, отже, точка є точкою перегину.

Знайдемо її ординату:

.

Таким чином, точка — точка перегину.

У точці функція не визначена. При , отже, графік функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл.4.

Таблиця 4

х
	+	0	+	Не існує	+
у	Ç	Перегин (– 8/9)	È	Не існує	È

7. Рівняння похилої асимптоти знаходимо у вигляді :

Таким чином, похилою асимптотою є (вісь Ох).

На підставі результатів дослідження будуємо графік функції (рис.16).

Рис. 16