4.1.Нахождение энергии электрона из модели Бора

Вычислим уровни энергии атома водорода без учёта тонкой структуры, используя простую модель атома Бора. Для этой цели можно сделать грубое допущение электрона, двигающегося по круговой орбите на фиксированном расстоянии. Приравнивая кулоновскую силу притяжения   центростремительной силе   получим:

Здесь   масса электрона,   его скорость на орбите радиуса     диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая постоянная).

Отсюда кинетическая энергия электрона

где   расстояние от электрона до ядра.

Потенциальная его энергия

Полная энергия, соответственно, равна

Для нахождения радиуса r_n стационарной орбиты с номером n рассмотрим систему уравнений, в которой второе уравнение есть математическое выражение первого постулата Бора 

Отсюда получаем выражение для радиуса стационарной орбиты с номером n:

Радиус первой орбиты оказывается равным   метра. Эта константа называется боровским радиусом.

Подставляя это значение в выражение для энергии, получим, что

Отсюда мы можем найти волновое число (по определению это обратная длина волны или число длин волн, укладывающихся на 1 см) фотона, излучаемого атомом водорода за один переход из возбужденного состояния с главным квантовым числом   в состояние с неким фиксированным главным квантовым числом 

где   постоянная Ридберга (она равна 109 737,31568539 см⁻¹).

5.1s-Состояние электрона в атоме водорода.

1s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т. е. не зависит от углов  и . Волновая функция  электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра, т. е.  = ₁₀₀(r), где цифры в индексе соответ­ственно указывают, что п=1, l=0 и m_l=0. Уравнению Шредингера для 1s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида

где, как можно показать, — величина, совпадающая с первым боровским радиусом а для атома водорода, С — некоторая постоянная, опреде­ляемая из условия нормировки вероятностей .

Благодаря сферической симметрии -функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом r и толщиной dr: dV=4r²dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей с учетом ,

После интегрирования получим

Подставив выражение в формулу , определим нормированную волновую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме водорода:

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема равна

Подставив в эту формулу волновую функцию , получим

Вычислим те расстояния r_max от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Исследуя выражение dW/dr на максимум, получим, что r_max=a. Следовательно, электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома. Казалось бы, квантово-механический расчет дает полное согласие с теорией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r=а достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве (рис. 305). Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл боровского радиуса.