Знаходження оцінок математичних сподівань і дисперсій генеральних сукупностей
Точкові оцінки невідомих параметрів розподілу можна знайти методом найбільшої правдоподібності, який зводиться до знаходження максимуму функції одного або декількох аргументів (параметрів).
Складемо функцію правдоподібності:
L = f (x1; Θ1, Θ2) ∙ f (x2; Θ1, Θ2) … f (xn; Θ1, Θ2) (2.1)
За умовою задачі Θ1 = a(математичному сподіванню), Θ2 = Dв (вибірковій дисперсії).Для спрощення обчислень Dв замінимо на σ2(виправлену вибіркову дисперсію). У даному випадку випадкові величини неперервні і розподілені за нормальним розподілом, густина якого визначається формулою(2.2) :
, (2.2)
де
-
математичне сподівання,
- середнє квадратичне відхилення.
Отже
L = f (xi ; Θ1, Θ2) ∙ f (x2; Θ1, Θ2) … f (xn; Θ1, Θ2) = f (xi ; a, σ2) ∙ f (x2; ; a, σ2) …
… f (xn
;
a,
σ2)
=
(2.3)
Знайдемо максимум функції L. Для цього можна використати функцію ln(L), яка матиме такий же максимум. Тож знайдемо логарифмічну функцію правдоподібності:
ln(L)
= Σ ln(f (xі
;
a,
σ2))
=
=
=
= – nln(
)
–
=
(2.4)
Знайдемо першу похідну рівняння (2.4) по а:
=
=
(Σxi
–
na) (2.5)
Знайдемо першу похідну рівняння (2.4) по σ2:
(2.6)
Знайдемо критичні точки, для чого прирівняємо часткові похідні (2.5) та (2.6) до нуля і отримаємо систему рівнянь:
(2.7)
Розв’яжемо систему рівнянь (2.7) відносно a. Отримаємо:
(2.8)
Легко бачити, що
при а
= xв
друга похідна
від’ємна, отже ця точка є точкою максимуму
і значить в якості оцінки найбільшої
правдоподібності треба взяти середнє
вибіркове:
.
Розв’яжемо систему рівнянь (2.4) відносно σ2. Отримаємо:
(Σxi
– a)
= n , 
(2.9)
Підставимо в
вираз замість а
– середнє вибіркове
(див. (2.8)).
(2.10)
Легко бачити, що при такому значенні вибіркової дисперсії друга похідна від’ємна, отже ця точка є точкою максимуму і значить в якості оцінки найбільшої правдоподібності треба взяти наступний вираз:
Dв*
=
(2.11)
Вибіркове середнє і вибіркову дисперсію доцільно обчислювати методом добутків, який дає зручний спосіб знаходження умовних моментів різного порядку з рівновіддаленими варіантами.
Для вибіркової сукупності Х:
Так як ми вже знайшли певні значення в першому пункті то використаємо їх для озв’язку цього завдання. Тобто нам відома сума частот варіант інтервалів (Таблиця №5).
Таблиця №5
Частковий інтервал, xi – xi+1 |
Сума частот варіант інтервалу, ni |
( )-( ) |
3 |
( )-( ) |
6 |
( )-( ) |
7 |
( )-( ) |
7 |
( )-( ) |
9 |
( )-( ) |
10 |
( )-( ) |
6 |
( )-( ) |
2 |
Створимо таблицю, що необхідна для розв’язання поставлених завдання методом добутків.
Вибираємо середини відрізків інтервалів, які і створюють послідовність рівновідалених варіант(Таблиця №6).
Таблиця №6
|
ni |
-1,734 |
3 |
-1,309 |
6 |
-0,679 |
7 |
-0,324 |
7 |
0,122 |
9 |
0,824 |
10 |
1,32 |
6 |
1,531 |
2 |
Вибираємо помилковий нуль. Візьмемо за нього варіанту, якій відповідає найбільша по модулю частота серед варіант, що знаходяться приблизно в середині відсортованого списку варіант. За таким принципом вибираємо С=0,122. А крок нам уже відомий, тому його шукати не будемо h=0,49. Отже знаходимо умовні варіанти:
(2.1)
Добутки частот на умовні варіанти niui, записуємо в четвертий стовпець.
Добуток частот на квадрати умовних варіант niui2 запишемо в п'ятий стовпець.
Добутки частот на квадрати умовних варіант, збільшених на одиницю ni(ui+1)2, записуємо в шостий контрольний стовпець.
Таблиця №7
x |
n |
u |
nu |
nu2 |
n(u+1)2 |
-1,734 |
3 |
-3,79 |
-11,36 |
43 |
23,35 |
-1,309 |
6 |
-2,92 |
-17,52 |
51,16 |
21,89 |
-0,679 |
7 |
-1,63 |
-11,41 |
18,59 |
2,78 |
-0,324 |
7 |
-0,91 |
-6,37 |
5,798 |
0,0567 |
0,122 |
9 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0,824 |
10 |
1,43 |
14,3 |
20,49 |
59,049 |
1,32 |
6 |
2,44 |
14,67 |
35,79 |
71 |
1,531 |
2 |
2,88 |
5,75 |
16,56 |
30 |
Підраховуємо суму 2-го стопчика ni, 4-го - niui, 5-го - niui2, і 6-го - ni(ui+1)2.
Тепер виконаємо контроль отриманих результатів:
Обчислення зроблені правильно.
Обчислимо умовні моменти першого і другого порядків:
Повернемось до головного завдання - знаходження середнього вибіркового і середньої дисперсії.
(2.2)
(2.3)
Для використання
даних формул нам не відомими залишається
та
.
Обрахуємо їх значення за формулами:
(2.4)
(2.5)
Використаємо дані формули і знайдемо невідомі нам елементи.
Підставимо
отримані значення і знайдемо
,
=(-0,24)*0,49+0,122=0,0044
=[3,82
- (-0,24)2]*0,492=3,7624*0,2401=0,9
Для вибіркової сукупності Y:
Так як ми вже знайшли певні значення в першому пункті то використаємо їх для озв’язку цього завдання. Тобто нам відома сума частот варіант інтервалів (Таблиця №).
Таблиця №8
Частковий інтервал, yi – yi+1 |
Сума частот варіант інтервалу, ni |
( )-( ) |
1 |
( )-( ) |
1 |
( )-( ) |
8 |
( )-( ) |
12 |
( )-( ) |
11 |
( )-( ) |
6 |
( )-( ) |
8 |
( )-( ) |
3 |
Створимо таблицю, що необхідна для розв’язання поставлених завдання методом добутків.
Вибираємо середини відрізків інтервалів, які і створюють послідовність рівновідалених варіант(Таблиця №6).
Таблиця №9
|
ni |
-2,243 |
1 |
-1,92 |
1 |
-0,872 |
8 |
-0,402 |
12 |
0,128 |
11 |
0,676 |
6 |
1,298 |
8 |
1,594 |
3 |
Вибираємо помилковий нуль. Візьмемо за нього варіанту, якій відповідає найбільша по модулю частота серед варіант, що знаходяться приблизно в середині відсортованого списку варіант. За таким принципом вибираємо С=0,128. А крок нам уже відомий, тому його шукати не будемо h=0,58. Отже знаходимо умовні варіанти:
Добутки частот на умовні варіанти niui, записуємо в четвертий стовпець.
Добуток частот на квадрати умовних варіант niui2 запишемо в п'ятий стовпець.
Добутки частот на квадрати умовних варіант, збільшених на одиницю ni(vi+1)2, записуємо в шостий контрольний стовпець.
Таблиця №10
y |
n |
v |
nv |
nv2 |
n(v+1)2 |
-2,243 |
1 |
-4,09 |
-4,09 |
16,72 |
9,55 |
-1,92 |
1 |
-3,53 |
-3,53 |
12,47 |
6,4 |
-0,872 |
8 |
-1,72 |
-13,79 |
23,72 |
4,15 |
-0,402 |
12 |
-0,91 |
-10,97 |
9,98 |
0,1 |
0,128 |
11 |
0 |
0 |
0 |
11 |
0,676 |
6 |
0,94 |
5,57 |
5,32 |
22,58 |
1,298 |
8 |
2,017 |
16,14 |
32,55 |
72,82 |
1,594 |
3 |
2,52 |
7,58 |
19,11 |
37,17 |
Підраховуємо суму 2-го стопчика ni, 4-го - nivi, 5-го - nivi2, і 6-го - ni(vi+1)2.
Тепер виконаємо контроль отриманих результатів:
Обчислення зроблені правильно.
Обчислимо умовні моменти першого і другого порядків:
Повернемось до головного завдання - знаходження середнього вибіркового і середньої дисперсії.
Для використання даних формул нам не відомими залишається та .
Обрахуємо їх значення за формулами:
Використаємо дані формули і знайдемо невідомі нам елементи.
Підставимо
отримані значення і знайдемо
,
=(-0,06)*0,58+0,128=0,0932
=[2,4 - (-0,06)2]*0,582=2,3964*0,3364=0,8