4. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій генеральних сукупностей для вибірок X та y

Запропонуємо просту гіпотезу про рівність дисперсій генеральних сукупностей H₀: D(X) = D(Y) при конкуруючій гіпотезі H₁: D(X) ≠ D(Y). Перевіримо запропоновані гіпотези при рівні значущості α = 0,1.

Знайдемо значення критерію, що спостерігається за формулою

де s²_б – більша виправлена дисперсія, s²_м – менша виправлена дисперсія.

Ми маємо великі вибірки (n₁ = n₂ = 50 > 30). Отже за виправлені вибіркові дисперсії можна взяти вибіркові дисперсії, які ми знайшли в 2-му завданні. Отже, маючи вибіркові дисперсії двох вибірок можна стверджувати

s²_б ≈ D_в(X) = 0,9; s²_м ≈ D_в(Y) = 0,8;

Підставимо значення та в формулу, отримаємо

F_емп= 0,9/0,8= 1,125;

За умовою задачі, конкуруюча гіпотеза має вигляд H₁: D(X) ≠ D(Y), тому критична область – двостороння.

По таблиці Фішера-Снедекора(додаток 3), по рівню значущості, що в двічі менший за заданий, тобто при α/2 = 0,1/2 = 0,05, та кількістю степенів свободи k₁ =49 k₂ =49 знаходимо критичну точку F_кр(0,05; 49, 49) = 1,60

Так як спостережений критерій менший за критичний F_емп < F_кр (1,125 < 1,60), то нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій немає підстав відхилити.

Висновок: Результати показують, що вибіркові виправлені дисперсії двох вибірок відрізняються несуттєво. Враховуючи, що вибіркові виправлені дисперсії є незміщеними оцінками генеральних дисперсій, то це ж стосується і генеральних дисперсій.

5. Побудова нормальних кривих за вибірками з генеральних сукупностей х і y

Для побудови нормальної кривої необхідно визначити емпіричні і теоретичні частоти.

Емпіричними частотами називають частоти n_i, які фактично спостерігаються.

Теоретичними називають частоти n_i^’, які знаходяться обчисленням:

n_i^’=nP_i.

Нормальна крива – це графік густини нормального розподілу (крива Гауса). Рівняння густини нормального розподілу:

де ­σ – середнє квадратичне відхилення, а – математичне сподівання.

Для цього необхідно знайти середнє квадратичні відхилення та вибіркові середні.

Вибіркові дисперсії вибірок Х та Y вже знайдені методом добутків раніше. За формулою знайдемо середні квадратичні відхилення вибірок.

Отримаємо:

Використаємо обраховані раніше умовні моменти першого порядку. Знаючи їх можна легко обчислити вибіркові середні за формулою:

Отримаємо: = 0,0044 = 0,0932

Наступним кроком є знаходження вирівнюючи частот кожної вибірки.

Вирівнюючі частоти будемо обраховувати по зведеним до рівновіддалених варіантам, що вже пораховані, за формулою:

де n – обсяг вибірки, h – довжина інтервалу, σ_в – вибіркове середнє квадратичне, φ(u_i)–функція Лапласа, її значення візьмемо з таблиці(додаток4), u_i визначається з формули:

де x_i – середини інтервалів, – вибіркове середнє.

Обчислимо вирівнюючі частоти за формулою .

Таблиця 11

-1,734	3	-1,7384	-1,8299	0,4656	2,81
-1,309	6	-1,3134	-1,3825	0,4162	6,17
-0,679	7	-0,6834	-0,7194	0,0279	6,74
-0,324	7	-0,3284	-0,3457	0,1365	7,32
0,122	9	0,1238	0,1303	0,0517	9,05
0,824	10	0,8196	0,8627	0,3051	9,89
1,32	6	1,3156	1,3848	0,4162	6,24
1,531	2	1,5266	1,6069	0,4452	2,15
	50				50,46

Таблиця 12

-2,243	1	-2,3362	-2,6249	0,4956	0,75
-1,92	1	-2,0132	-2,262	0,4881	1,32
-0,872	8	-0,9652	-1,0845	0,3599	7,87
-0,402	12	-0,4952	-0,5213	0,1985	11,76
0,128	11	0,0348	0,0391	0,1517	11,23
0,676	6	0,5828	0,6548	0,2422	6,14
1,298	8	1,2048	1,3537	0,4115	7,67
1,594	3	1,5008	1,6863	0,4535	2,76
	50				49,7

Побудова полігонів частот і нормальних кривих

Полігон частот будуємо по емпіричним частотам: на координатній площині ставимо точки з координатами (x_i, n_i) (таблиця 6). Точки з’єднуємо прямими лініями.

Нормальну (теоретичну) криву будуємо по вирівнюючим частотам: на координатній площині будуємо точки з координатами (x_i, n_i).

Аналогічні дії проводимо для вибірки Y, тільки значення беремо вже з таблиці 9.

На рис. №3 зображені полігон частот і нормальна крива за вибіркою Х.

На рис. №4 зображені полігон частот і нормальна крива за вибіркою Y.

Рис. 3

Рис. 4

Висновок: Порівнюючи графіки нормальної кривої і полігону частот можна зробити висновок, що побудована теоретична крива за даними вибірки X (мал. №3) і теоретична крива за даними вибірки Y (мал.№4) відображають дані спостережень досить точно.