2. Дифференцируемость функции двух переменных

Определение 4.

Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: , где А и В не зависят от и ,

, при

Теорема 1 (связь между дифференцируемостью и существованием частных производных).

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует ее частные производные и

БИЛЕТ№28

Теорема 4 (полная производная).

Пусть функция дифференцируема в точке и функции дифференцируемы в соответствующей точке t (при которой ). Тогда сложная функция дифференцируема в точке t, причем - полная производная для при .

Доказательство:

, где , при , то есть и . Разделим на и вычислим предел при

так как , следовательно

=

Итак:

- полная производная для функции .

Теорема доказана.

Теорема 4 (полная производная).

Пусть функция дифференцируема в точке и функции дифференцируемы в соответствующей точке t (при которой ). Тогда сложная функция дифференцируема в точке t, причем - полная производная для при .

Доказательство:

, где , при , то есть и . Разделим на и вычислим предел при

так как , следовательно

=

Итак:

- полная производная для функции .

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(U). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то ее приращение можно записать в виде:

, где

Разделим на Dx и перейдем к пределу при Dx0:

(если Dx0, то Du0, т.к. u(x) дифференцируема, а значит непрерывна)

Значит: (f(u(x)))' = f’(u) ×u' (x).

Теорема доказана.

БИЛЕТ№29

Теорема 5. Пусть функция дифференцируема в точке М , а функции дифференцируемые функциинезависимой переменной t, то производная сложной функции вычисляется по формуле

,

БИЛЕТ№30

2. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция в каждой точке некоторой области имеет частные производные Они представляют собой функции двух переменных. Производные от этих функций, если они существуют, называются частными производными второго порядка. Их обозначают:

,

,

,

.

Частные производные второго порядка вида и называют смешанными производными.

Теорема 9 (о равенстве смешанных производных).

Пусть в области существуют смешанные производные и в точке они непрерывные. Тогда

Замечание 2. Аналогично определяются частные производные второго, третьего и т.д. порядков. И тоже смешанные производные в точках их непрерывности равны. Определенный в пункте 4. дифференциал для функции : называют дифференциалом первого порядка. Пусть функции дифференцируемы в некоторой области . Тогда в этой области определен и дифференциал второго порядка: , если непрерывны в области D.

БИЛЕТ№31

2. Дифференциал функции двух переменных

Определение 5.

Если функция дифференцируема в точке , то где при . Тогда первые два слагаемых линейные относительно и – называются дифференциалом функции в точке , то есть .

Если х и у независимые переменные, то и . Тогда другая запись дифференциала функции двух переменных в точке :

.

Так как и при , то - бесконечно малая величина при более высокого порядка малости по сравнению с . Поэтому между можно поставить знак приближенного равенства ⇒ – формула приближенных вычислений.

Теорема 6 (свойство инвариантности дифференциала).

Пусть функция дифференцируема в точке , а функции дифференцируемы в точке , соответствующей точке = ( Функция является сложной функцией переменных и дифференцируемой по переменным . Тогда запись дифференциала функции z по переменным х и у та же, что и по переменным :

.

Доказательство:

⇒

ч.т.д.

БИЛЕТ№32

2. Аналитический признак полного дифференциала.

Теорема 10. Чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции для , необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1. непрерывны в области

2. 

Необходимость.

Дано: непрерывны в области u существует для которой . Доказать, что для

Доказательство. Так как , то

Тогда = , = .

Так как по условию 1. непрерывны в области то непрерывны и ⇒

ч.т.д.

Достаточность.

Дано: непрерывны в области u для . Доказать, что существует функция для которой .

Доказательство: Проверим можно ли найти функцию сли и выполнены условия теоремы, то можно ли найти функцию

(1)

(2)

Из (1): если у =const.

Тогда (3)

Приравнивая (2) и (3) :

(4)

по условию теоремы

Следовательно:

то есть не зависит от х

⇒

Значит, функцию можно найти из условий теоремы и и она равна:

ч.т.д.

БИЛЕТ№33

Лекция 3. Производная по направлению и градиент.