Экстремумы функций двух и трех переменных
Определение
1.
Точка
называется
точкой
максимума
функции
,
если
для любых точек
,
принадлежащих
окрестности точки
,
выполняется неравенство:
.
Определение
2.
Точка
называется
точкой
минимума
функции
,
если
для любых точек
,
принадлежащих окрестности точки
,
выполняется
неравенство:
.
Определение 3. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума).
Если точка является точкой экстремума функции , то её частные производные в точке равны нулю или не существуют.
При доказательстве теоремы 1 используются определения частных производных и теорема о необходимых условиях экстремума функции одной переменной.
Замечание 1. Аналогично формулируются определения 1 и 2 и теорема 1 для функции трех и более переменных.
Теорема 2 (достаточные условия экстремума функции двух переменных).
Если
функция
дважды дифференцируема в критической
точке
и её окрестности и определитель:
, то в точке
есть экстремум. Причем, если
, то точка
является точкой минимума функции, а
если
, то точка
является точкой максимума.
Замечание
2. Если
,
то в точке
нет экстремума, при этом точку
называют седловой точкой. Если
, то вопрос об экстремуме в точке
остается нерешенным, нужны исследования
функции
по её производным более высокого порядка.