5. Графік і властивості функції
Функція
неперервна і монотонна на проміжку
.
Обернена до неї функція
називається арккотангенсом (рис. 5).
Рис. 5.
Функція монотонно спадає і задовольняє нерівності:
(18)
При цьому виконуються граничні співвідношення
. (19)
Визначення.
Арккотангенсом
називається кут
,
що задовольняє нерівності (18), котангенс
якого дорівнює
,
тобто
,
. (20)
З графіків (4), (5) доходимо до висновку , що завжди виконуються рівності:
, (21)
. (22)
Наведемо табличні значення арккотангенса:
,
,
,
,
. (23)
Корисно запам’ятати такі формули:
,
,
,
,
,
,
,
, . (24)
Приклад. Обчислити значення функції
.
Приклад. Обчислити значення функції
.
Розглянемо складніші приклади обчислення значень обернених тригонометричних функцій.
Приклад. Знайти вираз для суми
,
,
,
.
Остаточно маємо:
.
Приклад.
.
Приклад.
.
Значення
вибирається у формулі, якщо відомо
наближене значення
.
Обчислити:
,
,
.
Обчислити:
.
Позначимо
,
,
,
.
Обчислити:
.
Знаходимо по формулі для суми арктангенсів
;
;
.
Обчислити:
.
Позначимо
,
;
.
6. Рівняння з оберненими тригонометричними функціями
До рівнянь з оберненими тригонометричними функціями застосовують тригонометричні функції.
Приклад.
.
Запишемо
,
,
.
Варто
перевірити корені рівняння
,
числа
теж є коренями вихідного рівняння.
Приклад
.
Позначимо
і вирішуємо рівняння
.
Застосуємо функцію
до обох частин рівняння
,
,
,
.
Друге
рішення
не задовольняє рівнянню.
,
.
Приклад.
.
,
,
,
,
,
,
.
рівняння
не має рішення;
,
,
.
Рішення
не задовольняє рівнянню, так
,
.
.
Приклад.
.
Використовуємо тотожність
;
,
;
;
,
,
,
,
,
.
Приклад.
,
,
,
,
,
.
Рішення
не задовольняє вихідному рівнянню.
Приклад.
,
,
,
,
;
,
.
Приклад.
,
,
,
.
Приклад.
,
,
,
,
.
Приклад.
.
,
,
,
;
.
7. Основні найпростіші тригонометричні рівняння
Обернені тригонометричні функції використовуються для рішення тригонометричних рівнянь. Приведемо найпростіші способи рішення тригонометричних рівнянь.
1. Рівняння
,
має рішення, які можна визначити формулою
,
(26)
Рішення можна пояснити на рис. 6
Рис. 6.
За
традицією невідомий кут позначається
буквою
.
У межах
рівняння
має рішення
.
У межах
є інше, симетричне щодо осі
рішення
.
При
ці симетричні рішення збігаються. Щоб
не було повторення рішень при
рішення визначають по інших формулах
,
,
,
,
,
.
При
рішення рівняння
можна записати у вигляді: (26)
,
чи в рівносильній формі
,
.
До рішень
завжди варто додавати доданок
,
,
що не змінює значення
.
При
рівняння
не має дійсних рішень.
Приклад.
Знайдемо рішення рівняння
.
По формулі (26) знаходимо
,
,
.
Приклад.
Вирішимо рівняння
.
Оскільки
,
те одержимо
,
,
.
2. Рівняння
,
має рішення
,
(27)
Рішення можна пояснити на рис.7. Кути, обумовлені рішенням розташовані симетрично щодо осі
Рис. 7.
Рівняння
мають рішення
,
,
,
,
,
.
Приклад.
Знайдемо рішення рівняння
.
По формулі (27) одержимо:
,
,
,
.
Приклад.
,
,
,
.
3. Рівняння
має рішення
,
.
(28)
Ці рішення можна представити на рис. 8.
Рис. 8
Приклад.
Розв’язати рівняння
.
По формулі (28) знаходимо
,
,
.
Приклад.
Розв’язати рівняння
.
Представимо рівняння у вигляді:
,
,
,
.