12. Перетворення добутків на суми, а сум на добутки

Часто розв’язування тригонометричного рівняння спрощується завдяки перетворенню добутків тригонометричних функцій на суми або сум на добутки.

Приклад. Розв’язати рівняння . Перетворюємо добутки на суми:

.

З рівняння знаходимо два розв’язки:

, ,

, , .

Розв’язок містить у собі розв’язок .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Перетворюємо добутки на суму:

.

Дістаємо рівняння

.

Перетворюємо суми на добутки

.

Остаточно маємо рівняння

.

Послідовно знаходимо його розв’язки:

, , ,

, , ,

, , .

13. Розв’язування, що ґрунтується на властивості обмеженості функцій

Розглянемо кілька рівнянь,під час розв’язування яких скористаємося обмеженістю тригонометричних функцій.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Оскільки значення косинуса обмежені одиницею, то рівняння зводиться до системи рівнянь:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

,

що зводиться до системи рівнянь:

, , ;

, , , .

Щоб система рівнянь мала розв’язок, необхідне виконання такої умови:

, , , .

Підбираємо частинний розв’язок рівняння для цілих числі , . Нехай , тоді .

Виконуємо заміну , , , .

Дістаємо рівняння для .

Знаходимо , , , і розв’язок , .

14. Системи тригонометричних рівнянь

Виводять невідоме з під знака тригонометричних функцій, використовуючи властивості тригонометричних функцій.

Приклад.

Додаючи і віднімаючи рівняння почленно , дістаємо систему рівнянь:

Звідси маємо:

.

Додаючи і віднімаючи почленно ці рівняння, знаходимо невідомі :

, , .

Приклад.

Щоб виключити , піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і додамо:

, ,

1. , .

2. , , .

Приклад. Знайти всі значення , при яких система рівняння має розв’язки і розв’язати систему:

.

Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо:

, .

Щоб ці рівняння мали рішення необхідне виконання нерівностей

, ,

що мають рішення . Із системи рівнянь знаходимо

.

Додаючи і віднімаючи рівняння, знаходимо невідомі

, .

Приклад. .

Перше рівняння перетвориться до виду

, .

З рівнянь знаходимо невідомі

.

Приклад. .

З першого рівняння знаходимо

1) , ,

2) , , , , . Значення не задовольняє рівнянню, отже

, , , , .

Приклад. .

Позначимо , і із системи рівнянь

знаходимо рішення

1) 2)

Приклад. .

Запишемо друге рівняння у виді , відкіля одержимо систему рівнянь

.

З рівнянь знаходимо невідомі

.

Приклад. .

Перше рівняння розкладається на множники.

1) , , , , ,

, ; , , .

2) , , .

Приклад. .

1) , , , .

2) , , , .

Рівняння не задовольняє системі.

, , ; , .

Питання для самоперевірки

1. Побудувати графіки обернених тригонометричних функцій.

2. Побудувати графіки тригонометричних функцій.

3. Основні найпростіші тригонометричні рівняння.

4. Рівність однойменних функцій.

5. Рішення лінійного рівняння.

6. Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток і перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.