4.2. Динамическое исследование механизмов

Динамическое исследование механизма ведётся с учетом сил, действу­ющих в механизме, знание которых необходимо для установления рацио­наль­ных конструктивных форм деталей механизма, расчёта их на проч­ность и работоспособность, определения механических потерь мощнос­ти на трение, коэффициента полезного действия (кпд) механизма, вычис­ле­ния необ­ходимой мощности двигателя, подбора чувствитель­ных элементов, а также для решения задач регули­рования движения механизма, уравновешивания движущихся масс и расчё­та механизма на точность.

При работе механизма к его звеньям приложены следующие внешние си­лы:

- движущие силы - силы, которые стремятся ускорить движение веду­щего звена, совершают положительную работу;

- силы сопротивления - силы, которые стремятся замедлить движение ведущего звена, совершают отрицательную работу. Силы полезного (производственного) сопротивления - силы сопротив­ления, соверша­ющие необходимую для выполнения требуемого техноло­ги­ческого процесса работу; силы вредного сопротивления - силы, на преодоление которых затрачи­ва­ется часть подведённой к механизму энергии, не используемой на выпол­нение полезной работы;

- силы тяжести - силы, обусловленные гравитационным притяже­нием, работа которых может быть как положительной (при опускании центра тяжести звеньев механизма), так и отрицательной (при поднятии центра тяжести звеньев). За период цикла движения механизма работа сил тяжести равняется нулю;

- силы инерции - действуют при движении звеньев механизма с ускоре­ни­ем. Работа сил может быть как положительной, так и отрицательной. Работа сил внутри цикла установившегося движения равняется нулю.

Сила, вызывающая вращение тела или сопротивление вращению и нап­рав­ленная по касательной к траектории точки её приложения, называется окружной силой.

Для упрощения решения задач динамических исследований все силы сопротивления и силы инерции, приложенные к различным звеньям механизма, заменяются одной условной силой приведения, приложенной к одному звену механизма - звену приведения. Точка приложения приведённой силы называется точкой приведения. Звено, точка и направление действия силы приведения могут быть выбраны произвольно, но в большинстве случаев сила приведения прикладывается к точке ведущего звена механизма и направляется по касательной к траектории точки приведения.

Силой приведения (приведённой силой) Р_пр называется такая условная сила, элементарная работа которой на возможном перемещении точки приведения равна сумме элементарных работ всех приложенных к звеньям сил на соответствующих перемещениях точек приложения этих сил. В механизмах все возможные перемещения реализуются в действительные. Приведённым моментом силы М_пр называется момент приведённой силы.

Для динамического исследования механизма применяются графические, графо-аналитические и аналитические методы. К числу графо-анали­ти­чес­ких методов относится метод Н.Е.Жуковского, исполь­зуемый при анализе работы механизмов с одной степенью свободы.

Для механизмов с одной степенью свободы принцип возможных переме­щений сводится к равенству мощности приведённой силы (или приве­дён­ного момента) сумме мощностей всех реально приложенных к звеньям механизма сил и моментов сил. Из этого равенства находятся значения приведённых силы и момента. Однако аналитически это сделать не всегда просто, особенно в случае многозвенного механизма или большого коли­чества приложенных к его звеньям сил. В этом случае удобно восполь­зоваться теоремой Н.Е.Жуковского (теоремой о жёстком рычаге): если с кине­матической схемы механизма в соответст­вующие точки плана скорос­тей, повёрнутого на 90, перенести векторы всех сил, то сумма моментов всех этих сил относительно полюса плана скоростей механизма будет равна нулю. Рассматривая одну из этих сил в качестве уравновешивающей механизм, силу приведения находим как равную ей и направленную в противоположную сторону. Уравновешивающей может быть, в частности, движущая сила, приложение которой необходимо для поддержания заданного закона движения ведущего звена механизма.

Теорема согласуется со следующими соображениями: мощность силы равна произведению этой силы на скорость точки её приложения и косинус угла между ними, скорости точек приложения сил пропор­цио­наль­ны дли­нам их обозначающих векторов на плане скоростей, умножению на косинус вышеназванного угла идентична операция определения плеча приложенной в соответствующую точку плана скоростей силы относительно полюса этого плана.

Реализацию метода Жуковского рассмотрим на примере кинематически исследованного рычажного механизма (рис.18) в целях определения необхо­димой для работы механизма движущей силы, приложенной к ведущему звену.

Для проведения динамического исследования механизма, кроме уже из­вест­ных данных, необходимо знание масс и моментов инерции звеньев механизма относительно их центров масс, величин, направ­лений и точек приложения сил сопротивления.

Условимся, что в рассматриваемом случае сила полезного сопротив­ле­ния F_пс приложена в точке D и направлена противоположно направ­лению скорости этой точки, а силы вредного сопротивления пренебрежимо малы и их не учитывают.

Поскольку звенья механизма движутся с ускорением, необходимо опре­де­лить действующие на них силы инерции.

Величину главного вектора сил инерции F_ИI, Н , i-го звена определяют по формуле

F_ИI = m_I a_SI ,

где m_I - масса i-го звена, кг ; a_SI- ускорение центра масс i-го звена, м/с².

В частности, ускорение центра масс звена 1 а_S1 =s₁ /_а , где s₁- длина вектора s­₁ на плане ускорений (рис. 18). Главный вектор сил инерции F_И1 приложен в центре масс S₁ и направлен в сторону, противоположную вектору ускорения а_S1 (вектору s₁ на плане ускорений)

Величину главного момента сил инерции Т_ИI, Н м, определяют по формуле

Т_ИI=I_SI _I ,

где I_SI- момент инерции i-го звена относительно оси, проходящей через центр масс звена, перпендикулярно к плоскости движения; _I- угловое уско­рение i-го звена .

Так как ₁ = 0, то и Т_И1=0, а вектор равнодейст­ву­ющей сил инер­ции равен главному вектору сил инерции F_И1 и приложен в центре масс S₁.

Величина главного вектора сил инерции звена 2, Н

F_И2=m₂ a_S2.

Точкой приложения вектора является центр масс S₂ звена 2, его направ­ление противоположно направлению вектора ускорений а_S2 звена 2 (вектору s₂ на плане ускорений, рис. 18)

Направление главного момента сил инерции звена 2 Т_И2 =I_S2 ₂ противо­положно направлению ₂. Так как ₂ направлен по ходу часовой стрелки, то Т_И2 направлен против хода часовой стрелки.

При проведении силового расчёта звена приведения используем теорему Жуковского. Для удобства применения этой теоремы целесообразно заме­нять либо главный момент сил инерции звеньев парой сил, либо главный вектор и главный момент сил инерции - одной равнодейст­вующей. Вектор равнодействующей совпадает по величине и направлению с главным вектором сил инерции, а линия его действия смещается относительно центра масс соответствующего звена на расстояние, равное отношению величин главного момента и главного вектора сил инерции в сторону создания этой равнодействующей момента относительно центра масс с направлением главного момента сил инерции.

Поворачиваем план скоростей механизма (рис. 18) на угол 90 (в любом направлении), и в соответствующие точки повёрнутого плана скоростей переносим параллельно самим себе все внешние силы, действующие на механизм, включая силы и пары сил инерции (рис. 19). В качестве звена приведения выбираем кривошип О₁А, а в качестве точки приведения - точку А. Уравновешивающая сила действует в точке приве­де­ния перпендикулярно звену О­₁А, в соответствии с чем к точке а повёрну­того плана скоростей прикладываем уравновеши­вающую силу F_у (рис. 19). Сила F_И2 является равнодействующей сил инерции звена 2, пара сил F’_т, F”_т , величиной Т_И3/ВО₂ каждая, заменяет главный момент инерции Т_И3 звена 3.

По теореме Н.Е.Жуковского сумма моментов всех сил отно­сительно по­лю­са р повёрнутого плана скоростей равна нулю:

F_у ра - F_И2 h_{F и2} - F_g2 h_Fg2 - F’_т рв - F_g1 h_Fg1 -F_пс рd = 0

Длины плеч сил при этом измеряются непосредственно на чертеже (рис. 19). Из полученного уравнения равновесия определяется значение уравно­вешивающей силы F_у.

Рис.19. Повёрнутый план скоростей с приложенными к звеньям силами

Описанным образом можно определить приведённые силы полезных и вредных сопротивлений, сил тяжести и сил инерции для ряда пос­ле­дова­тельных положений механизма за период цикла движения. По резуль­татам силового расчёта можно построить диаграммы, характеризующие законы изменения приведённых сил и моментов в функции времени, перемещения или скорости. Эти диаграммы исполь­зу­ются для анализа влияния сил на работу механизма и прибора в целом.

Динамическое исследо­вание движения механизма производится также на основе анализа уравнения движения механизма, описывающего закон измене­ния его кинетической энергии

А _Д - А_С =  m_i v_i ² /2 -  m_i v_0i ²/2 ,

г де А_Д- работа движущих сил, А_С- работа сил сопротивления, m_i- массы элементарных объёмов звеньев механизма, v_i , v_0i - их скорости в начале и в конце рассмат­риваемого перемещения, i- количество элементарных объё­мов.

Полное время движения меха­низма состоит из времени раз­бе­га Т_Р, времени Т_у.д. установившегося движе­ния и вре­мени Т_В выбега (оста­нов­ки) (рис.20). При движе­нии в режиме разбега работа движущих сил превы­шает ра­бо­ту сил соп­ро­тивления. Совершаемая в режиме установив­шегося движе­ния ра­бо­та дви­жущих сил равняется работе сил сопро­тивления. За время выбега А_Д < А_С.

За время разбега t звено приведения совершает перемещение из положе­ния с углом ₁ в положение с углом ­₂. При этом

 t= d/(t),

где (t)- зависящая от времени t угловая скорость движения звена приве­дения. При равномерном разбеге, когда d/dt==const

t=(₂ -₁)/ .

Время t, в течение которого скорость звена приведения изменится на величину , в общем случае может быть рассчитано по формуле

 t= I_пр  d/(М­_{пр. дв.}-М_пр.с) ,

где I_пр- приведённый момент инерции вращающегося звена приведения, равный удвоенному отношению суммарной кинетической энергии ме­ха­низ­ма к квадрату угловой скорости звена приведения, М­_{пр. дв.},М_пр.с- приве­денные моменты движущих сил и сил сопротивления соответст­вен­но.

В общем случае за время даже установившегося движения ведущее звено механизма вращается неравномерно (рис.20). Неравномерность движения механизма принято оценивать коэффициентом неравномерно­сти движения его ведущего звена:

  (_max- _min)/_ср ,

где _ср= 0,5(_max - _min) -средняя угловая скорость (рад/с) за период цикла.

Для различных приборов практикой установлены определённые коэф­фи­ци­енты неравномерности движения, соответствующие необхо­димым режи­мам их удовлетворительной работы. Для обеспечения этих значений, а также для обеспечения (при необходимости) заданной скорости ведущего звена, производят регулирование хода механизма. В приборах это произво­дится с помощью тормозных регуляторов скорости автоматически увели­чи­вающих работу сил вредного сопротивления при увеличении угловой ско­рос­ти ведущего звена и уменьшающих её при замедлении движения меха­низма.

На рис. 21 показан центробежный тор­моз­ной регулятор скорости для само­пишущего прибора. На валике 1 регулятора закреплена втулка 2 с плоскими пружинами 3, в нижней части которых закреплены грузики 4 весом Q, выпол­няющие функции тормозных ко­ло­док. Валик регулятора свя­зан с меха­низмом посредством зубчатого колеса. Когда угловая скорость  валика превышает допускаемое значе­ние, цен­тро­бежные силы инерции Р_И= Q² x/g дефор­мируют пружины 3 настолько, что грузы прижимаются к тормозной чаше 5 и силы трения о неё создают работу вредных сопро­тивлений тем большую, чем больше угловая скорость валика . Допускаемая угловая скорость может устанавливаться осевым

п еремещением конусной тормозной чаши 5.

Отношение абсолютной величины работы сил полезного сопротив­ления к работе всех движущих сил за время установившегося движения называ­ется механическим коэффициентом полез­ного действия  (кпд).

Значения  изменяются в пределах ]0;1[. Определение кпд нескольких меха­низмов, соединённых последователь­но, произво­дится посредством пе­ре­­множения кпд отдельных механизмов. Значения работ за полное время установившегося движения машины пропорциональны сред­ним значениям мощностей за тот же пери­од времени, поэтому

 = А_{п с}/А_д = Р_{п с} /Р_д = 1 - Р_т / Р_д ,

где А_{п с} - работа сил производственного сопротивления, Р_{п с} - средняя мощ­ность, затрачиваемая на преодоление сил производственных сопро­тив­лений, Р_т - средняя мощность, затрачиваемая на преодоление непроизводственных сопро­тивлений, Р_д - средняя мощность, развиваемая движущими силами.

Реализацию рассмотренных принципов расчёта покажем на конкретных при­­мерах. На рис. 22 показана схема зубчатых передач. Входное колесо 1 в данный момент времени имеет угловую скорость ₁ и постоянное угловое уско­рение ₁, направленное по движению или против движения.

Определить:

1. Передаточное отношение между вход-

ным и выходным звеньями и его знак.

2. Угловую скорость и угловое ускорение

выходного звена. Их направления пока-

2` зать на схеме передачи.

3. Время, в течение которого угловая ско-

₁ ₁ 1 3 рость входного звена увеличится в два

раза или уменьшится до нуля.

3` 4 4. Общий коэффициент полезного дейст-

2 вия передачи.

Дано : числа зубъев колёс

5 z₁=21, z₂=55, z_{2`</sub>=17, z<sub>3</sub>=30, z<sub>3`}=24, z₄=28,

z_4`=22, z₅=85, ₁=280 рад/с, ₁=210 рад/с²

Значения кпд для пары цилиндричес-

Рис. 22. Кинематическая схема механизма

ких колёс _ц=0,97; для пары конических

колёс _к= 0,95; для планетарной пере­да-чи, имеющей внутреннее зацепление одной из пар, _п=0,96.

Данная схема изображает кинематическую цепь звеньев механизма, об­ра­зу­ющих между собой кинематические пары. Входным звеном здесь является коле­со 1, движение которого задано, выходным - водило 6 плане­тар­ной пе­ре­дачи, состоящей из колёс 3`, 4, 4`, 5 и водила 6. Механизм состо­ит из трех кинематически последовательно соединённых зубчатых передач: передачи с внутренним зацеплением с колёсами 1 - 2, конической передачи с колёсами 2` - 3 и планетарной 3`- 6. Общее передаточное отно­ше­ние меха­низ­ма равно произведению передаточных отношений состав­ляющих его передач.

Передаточное отношение первой передачи u_1-2= z₂ / z₁= 55/21= 2,62, вто­рой - u_{2`-3</sub>= z<sub>3</sub> / z<sub>2`} = 30/17=1,76. Для расчёта передаточного отношения планетарной передачи u_3`-6 используем метод остановки: механизму мыс­ленно сообщаем вращение с угловой скоростью -₆ водила, но направ­ленной в обратную сторону. Тогда мнимые скорости колёс преобра­зо­ван­ной планетарной передачи будут иметь значения:

`<sub>3`</sub> =  <sub>3`</sub> - <sub>6</sub> ; `₄= ₄-₆ ; `₅= -₆.

Передаточные отношения передач с остановленными осями

u`<sub>3-4</sub>= `<sub>3`</sub>/`₄= - z₄/z_3` (знак ”-” , поскольку зацепление внешнее);

u`<sub>4-5</sub>= `₄/`<sub>5</sub> = z<sub>5</sub>/z<sub>4`</sub> ; u`<sub>3-5</sub>=(  <sub>3`</sub> - ₆ )/(-₆)= u`<sub>3-4</sub> u`_4-5= -z₄z₅/(z_{3`</sub> z<sub>4`}) ,

откуда

 _{3`</sub> = <sub>6</sub> (1 + z<sub>4</sub>z<sub>5</sub>/(z<sub>3`} z_{4`</sub>)) , u<sub>3-6`} =  _{3`</sub> / <sub>6</sub> = 1 + z<sub>4</sub> z<sub>5</sub> / (z<sub>3`} z_4`) =

= 1+ 28 85/(24 22) = 5,51.

Передаточное отношение между входным и выходным звень­ями меха­низ­ма

u_1-6= u_1-2 u_{2`-3</sub> u<sub>3`-6} = 2,62 1,76 5,51 = 25,4.

2.При известном передаточном отношении u механизма значения угло­вой скорости _вых и углового ускорения _вых выходного звена определяются по формулам:

_вых = ₁ / u = 280/25,4= 11,02 (рад/с) ; _вых = ₁ / u = 210 / 25,4= 8,26 (рад/с²).

Направления _вых и _вых определяются направлениями угловых ско­рос­ти и ускорения входного звена и знаком передаточного отношения механизма (для механизмов с параллельными осями вращения). Отрица­тельный знак u меняет направления скорости движения и его ускорения на проти­во­положные.

3. Время t, в течение которого угловая скорость увеличится в два раза (в случае ускоренного движения, когда направления стрелок  ₁ и ₁ совпа­дают) или уменьшится до нуля (в случае замедленного движения), опреде­ля­ется по формуле

t = ₁/₁ = 280 / 210 = 1,33 (с),

где ₁=₁-абсолютное значение изменения угловой скорости первого колеса за время t.

4. Коэффициент полезного действия  привода равен произведению кпд. всех его передач и подшипников. Общий кпд привода

 = ₁₂ _{2`3</sub> <sub>3`6} = 0,97 0,95 0,96 = 0,885.

Рассмотрим расчёт кривошипно-ползунного механизма, выходное звено которого совершает возв­ратно-поступательное движение и нагружено на рабочем ходу постоянной силой F_C полезного сопротивления. На холостом ходу (при обратном направлении движения вы­ход­ного звена) полезное соп­ро­тивление отсутст­вует, но продолжают дейст­вовать вредные сопротив­ления. Учитывая трение в кинематических парах и зная кпд механизма, определим :

1. Движущий момент Т_д , постоянный по величине, который нужно при­ложить к входному звену при установившемся движении с циклом, состо­ящим из рабочего и холостого ходов.

2. Работы сил трения на рабочем и холостом ходах, считая, что вредное сопротивление постоянно на каждом из ходов, но на рабочем ходу оно в три раза больше, чем на холостом.

3. Изменение кинетической энергии механизма за время работы на хо­лос­том ходу и за время рабочего хода.

4. Мощность, требуемую от привода при вращении входного звена со средней скоростью ₁, и средние (за оборот) мощность полезного сопро­тивления и мощность сил трения .

Дано: размеры звеньев OA=150 мм, АВ=350 мм, эксцентриситет е=50 мм, F_C=1000 Н, =0,8, ₁=100 рад/с (рис.23).

Крайнее правое положение ползуна

Крайнее левое положение ползуна

A

_р B

F_C

O

e

S

Рис.23. Кинематическая схема механизма и его крайние положения

1. Решение задачи следует начинать с выделения рабочего и холостого ходов работы механизма, что можно сделать графически путём построения на кинематической схеме механизма его крайних положений. При крайних положениях механизма происходит изменение направления движения его выходного звена на противоположное. С чертежа (рис. 23) снимаем следующие значения:

- углов поворота входного звена механизма на его рабочем и холостом ходах. По замерам имеем _р=3,45 рад, _х=2,83 рад;

- линейное перемещение или ход S выходного звена при его возвратно -поступательном движении. В рассматриваемом случае S= 304 мм;

2. Определение величины движущего момента Т_Д производим на основе использования связи значения кпд с работами движущих сил A_д и сил полезного (производственного) A_П.С сопротивления

A_П.С /А_д

Для одного цикла работа движущих сил, подведённых к входному звену механизма

А_д=Т_д 2,

работа сил полезного сопротивления

А_{П С} =F_C S.

Исходя из приведённых соотношений, имеем

Т_д = F_C S / 2 = 1000 0,304 / 2 3,14 0,8 = 60,51 (Н м).

3. Значения работ сил трения на рабочем и холостом ходах определяются из уравнения движения механизма на случай установившегося дви­же­ния:

А_Д -А_С = А_Д - А_{П С} - А_{ТР. Р} - А_ТР.Х = 0.

Поскольку по условию задачи А_{ТР Р}= 3 А_{ТР Х} ,то

А_{ТР Х} = (А_Д - А_{П С})/4 = (380 - 304)/4 = 19 (Дж).

По условию работа сил трения на рабочем ходу механизма А_ТРР=3А_ТРХ=

=3 19=57 (Дж).

4. Изменение кинетической энергии механизма за время рабочего хода

К_р= А_{Д Р} - А_{С Р} = Т_д _р - А_{П С} - А_{ТР Р} = 60,51 3,3,45 - 304 - 57 = - 152,24 (Дж),

за время холостого хода

К_Х= А_{Д Х} - А_{С Х}= Т_д _х - А_{ТР Х} = 60,51 2,83 - 19 = 152,24 (Дж),

где А_{Д Х}= Т_Д _х и А_ДР = Т_д _р -работы движущих сил за время рабочего и холостого ходов механизма соответственно.

5. Мощность, требуемая от привода при вращении входного звена со сред­ней скоростью ₁ :

Р_пр = Т_Д ₁ = 60,51 100 = 6051 (Вт).

Средняя мощность полезного сопротивления

Р_{П С} = Р_пр  = 6051 0,8 = 4840,8 (Вт).

Мощность, затрачиваемая на преодоление сил трения:

Р_ТР = Р_ПР (1 - ) = 6051 0,2 = 1210,2 (Вт).