Пример1.

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и 2 таблицы).

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний необходимо выравнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия: Пирсона (²), Романовского и Колмогорова ().

Крепость нити, г	Число проб	Середина интервала			(t)	154*(t)f ‘
1	2	3	4	5	6	7
120 – 130	1	125	-36,4	-2,80	0,008	1
130 – 140	8	135	-26,4	-2,03	0,051	8
140 – 150	27	145	-16,4	-1,26	0,180	28
150 – 160	58	155	-6,4	-0,49	0,354	55
160 – 170	56	165	3,6	0,28	0,384	59
170 – 180	34	175	13,6	1,05	0,230	35
180 – 190	14	185	23,6	1,82	0,076	12
190 – 200	2	195	33,6	2,58	0,014	2
Итого	200	-	-	-	-	200

Для нахождения теоретических частот используем формулу:

, или

где - нормированные отклонения от средней, т.е. и  - основные параметры кривой нормального распределения.

С них и начнем свои расчеты. Опуская вычисления, запишем результаты:

1. = 161,4;

2.  = 13.

Дальнейшие расчеты таковы:

3. находим отклонения отдельных вариантов от средней (графа 4);

4. делим каждое отклонение на , т.е. находим нормированные отклонения (графа 5);

5. зная t, находим по таблицам (t) (графа 6);

6. рассчитаем постоянный множитель const = Nh/. В нашем примере const = 200*10/13 = 154;

7. умножая последовательно 154 на (t)и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты (графа 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты (f ^‘) , близки к эмпирическим (f), хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

1. Критерий Пирсона:

Расчет этого критерия рассмотрен в таблице:

f	f ‘	f – f ‘	(f – f ‘)2	(f – f ‘)2/f ‘
1	1	0	0	0
8	8	0	0	0
27	28	-1	1	0,04
58	55	3	9	0,16
56	59	-3	9	0,15
34	35	-1	1	0,03
14	12	2	4	0,33
2	2	0	0	0
200	200	-	-	2 = 0,71

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп (классов) вариантов, следовательно, и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних (при выравнивании по кривой нормального распределения) k = 8 – 3 = 5. Примем наиболее часто используемый уровень значимости  = 0,05 и обратимся к таблицам («Значения ² – критерия Пирсона» при различных значениях уровня значимости (0,05; 0,01 и т.д.)).

По таблицам значений ²- критерия Пирсона для степеней свободы k = 5 и уровня значимости  = 0,05 определяем, что ²_табл.= 11,07. Так как полученное в задаче фактическое значение ²_факт.= 0,71, т.е. меньше табличного, то, следовательно, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному принимается.

2. Применим критерий Романовского:

Поскольку 1,4 3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

3. Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия Колмогорова ( ). Для этого запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними:

f	f ’	Накопленные частоты		s – s’ 
		эмпирическое (s)	теоретическое (s’)
1	1	1	1	0
8	8	9	9	0
27	28	36	37	1
58	55	94	92	2
56	59	150	151	1
34	35	184	186	2
14	12	198	198	0
2	2	200	200	0

Максимальный разрыв D = 2, поэтому =

По таблицам значений функции P() находим для  = 0,2, что Р = 1,000. Следовательно, с вероятностью 100% можно полагать, что расхождения между f и f ^‘ носят случайный характер, поэтому гипотезу о характере распределения следует принять.

Пример 2.

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Число неисправностей (х)	0	1	2	3	4	5
Число станков (f)	14	16	10	7	2	1

Требуется:

1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона;

1. оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Решение:

Так как вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются, то выдвигаем гипотезу о близости данного распределения к распределению Пуассона и производим выравнивание ряда распределения в соответствии с этой гипотезой. Теоретические частоты при выравнивании эмпирических данных определяем по формуле: f’=N*P_x,

где f ^’- теоретические частоты;

– общее число единиц ряда, в нашем примере N=50

Р_х – вероятность наступления отдельных значений х, которая определяется по формуле: ,

где – средняя арифметическая ряда.

Следовательно, на основе данных исходной таблицы получим:

а) Среднее число неисправностей:

б) Находим по таблицам значение =0,2466≈ 0,247.

в) Подставляя в формулу значения = 0,1,2,3,4,5 получаем вероятности числа неисправностей от 0 до 5. Значения P_x заносим в таблицу ( смотри ниже).

г) Затем находим теоретические частоты ряда распределения :

Для х=0 получаем f’=50* 0,247=14,56≈15,

Для х=1 получаем f’=50* 0,345=21,84≈22 и т.д. (расчет представлен в нижестоящей таблице)

Значения и (округленные до целого числа) показаны в приводимой ниже таблице:

	(теоретические частоты)= 50
0,247	12
0,345	17
0,242	12
0,113	6
0,040	2
0,011	1
Итого	50

После выравнивания ряда, т.е. нахождения теоретических частот, необходимо проверить, случайны или существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о близости исходного распределения к распределению Пуассона.

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова.