Второй способ (короткий, но «затуманивающий» суть):
Сложим алгебраически три имеющихся уравнения КПВ. Мы получим:
.
Однако по условию в любом допустимом распределении производства выполнено
и
.
Отсюда получаем условие:
.
Обозначим общее
количество серебра за
.
Используя это, можно переписать
полученное выше условие как
,
или
.
Нам нужно сделать
как можно больше; значит, нам нужно
сделать
как можно меньше. Заметим, однако, что
мы не можем сделать
меньше, чем 30, ведь количество меди во
второй области,
не больше общего количества меди — 80.
Итак,
,
а значит
.
При этом легко
привести пример распределения такой,
что
.
(Его можно построить, используя
;
получится то же самое распределение,
что мы нашли в первом решении). Значит,
максимальное количество серебра
действительно равно 150.
(б)
Обозначим за
искомый объем производства каждого из
металлов. Ясно, что производство должно
быть эффективным (точка
должна лежать на
трехмерной КПВ страны), и потому, в силу
рассуждений и пункта (а), в третьей
области нужно будет производить только
золото (максимальный
,
очевидно, больше 70, и потому приведенное
в решении 1 доказательство того факта,
что
,
«работает»). Используя это, получаем
систему из трех уравнений с тремя
неизвестными:
.
Решая ее, находим
.
(
,
).
1
Заметьте, что тот факт, что
общее количество золота больше 70,
критичен для таких рассуждений. Если
бы оно было меньше 70, то из
не следовало бы
,
и, возможно, с первой области на третью
нечего было бы перекидывать. Наш маневр
при этом не удался бы, и оптимум, возможно,
был бы качественно другой.