1.4. Определители произвольного порядка
Пусть задан определитель n-го порядка
.
Для любого определителя выполнены свойства:
а) если в определителе две строки или два столбца равны, то определитель равен нулю:
б) если в определителе какая-либо строка или столбец состоит из нулей, то этот определитель равен нулю:
в) общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя:
г) если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то определитель изменит знак:
д) определитель не изменится, если к произвольной строке прибавить другую строку, домноженную на любое число. Это же справедливо и для столбцов. Например, в следующем определителе к третьей строке добавлена первая, домноженная на минус два:
Для вычисления определителей специального треугольного вида применимо следующее правило:
.
Свойства определителей позволяют любой определитель свести к треугольному виду и вычислить его по указанному правилу.
Примеры.
а)
(ко
второй строке прибавляем первую,
домноженную на (-2), к третьей строке
прибавляем первую, домноженную на
(-3), к четвертой строке прибавляем первую,
домноженную на (-8))
(к
третьей строке прибавляем вторую,
домноженную на (-2))
(по
второму свойству определителей).
б)
(поменяем вторую и первую строки местами,
чтобы иметь единицу на первом месте в
первой строке) =
(ко
второй строке прибавляем первую,
домноженную на (-3) и т.д.) =
.
в)
(к третьей строке прибавляем вторую,
домноженную на (-1), к четвертой строке
прибавляем третью, домноженную на (-1),
для уменьшения чисел в первом столбце)
1.5. Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители:
2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
2.1. Понятие матрицы
Матрицей порядка nm называется прямоугольная таблица чисел вида
.
Числа
аij
называются
элементами
матрицы.
Матрицу будем коротко записывать
= (аij)
nm
.
Если n=m,
то матрица называется квадратной
порядка n.
Матрица
с элементами
(i,j=1,2,…,n)
называется единичной
матрицей
n-го
порядка.
2.2. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу А на число , необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.
Пример.
Для матрицы
найдем произведение
.
Из определения получаем
2.3. Сложение матриц
Если матрица В = (bij)nm имеет тот же порядок, что и матрица А = =(аij)nm, то можно определить их сумму - матрицу С = А + В = (cij)nm того же порядка - по правилу: сij = аij + bij для i =1, 2,..., n; j = 1, 2,..., m. Матрицы различных порядков складывать нельзя.
Пример. Найдем сумму матриц А + В, где
2.4. Умножение матриц
Произведением матрицы А = (аij)nm на матрицу В = (bij)mp называется матрица С = А В = (сij)np, построенная по правилу
Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом: берут i-ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно на j-й столбец матрицы В и эти произведения складывают. Полученное число является элементом матрицы С, стоящим в i-й строке и j-м столбце.
Пример. Найдем произведение матриц АВ, если
Внимание:
а) матрица А имеет порядок nm, матрица В имеет порядок mp, а их произведение АВ - порядок np;
б) в общем случае АВ ВА.
Примеры.
а) Найдем ВА, где матрицы А и В взяты из предыдущего примера:
б) Найдем значение матричного многочлена В = 2А2 + 3А + 5Е, где
-
единичная матрица третьего порядка.
Имеем
тогда