3.2. Решение системы уравнений

После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчато-диагональных элементах.

Примеры.

а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего пункта. После элементарных преобразований (см. выше) получаем систему

.

Уравнений два, поэтому считаем х₁ и х₂ (стоящие при ступенчато-диаго-нальных элементах) основными, а х₃ и х₄ свободными. Находим из системы основные неизвестные через свободные:

,

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

б) Решим систему

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Выбираем в качестве основных переменные х₁ и х₃, как стоящие при ступенчато-диагональных элементах, переменная х₂ берется свободной. Итак,

и общее решение системы

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.

а) б)

в)

3.4. Собственные вектора и собственные значения матрицы

Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы го порядка, соответствующим собственному значению если он удовлетворяет матричному уравнению

или

Здесь - единичная матрица - го порядка, а 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений

Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Пример. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:

или

откуда следует, что матрица имеет два собственных значения и Собственный вектор соответствующий определяется из системы уравнений вида

, или

которая сводится к одному уравнению Полагая получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть

Второй собственный вектор соответствующий собственному значению определяется из системы уравнений вида:

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению полагая запишем ее решение в виде Следовательно, второй собственный вектор есть

Таким образом, матрица имеет два собственных значения и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя)

4. Векторы, простейшие действия над ними

4.1. Основные понятия

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами , , , образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)