3.2 Кинетостатический расчет механизмов методом планов сил

Кинетостатический расчет механизмов ведется по структурным группам, так как они обладают нулевой подвижностью и являются статически определимыми системами. Для структурной группы принцип Д^,Аламбера можно сформулировать так: «Если ко всем действующим на звенья группы внешним силам присоединить силы инерции и реакции связей, то под действием всех этих сил структурную группу можно условно рассматривать находящейся в равновесии».

Кинетостатический расчет начинается с расчета структурной группы, наиболее удаленной от входного звена, и заканчивается расчетом кривошипа.

При выполнении кинетостатического расчета механизма должна быть задана кинематическая схема механизма и проведен полный кинематический анализ. Кроме того, должны быть заданы массы звеньев и внешние силы, действующие на механизм. Эти силы можно условно разбить на группы:

1. Движущие силы и движущие моменты - они же являются уравновешивающими; их требуется определить.

2. Силы и моменты полезного (производственного) сопротивления – они приложены к выходному звену.

3. Силы тяжести звеньев.

Пример 7. Произвести кинетостатический расчет механизма (рис. 4) в положении, определяемом углом ₁ поворота ведущего звена О₁A, если, к ползуну (звено 5) приложена сила по­лезного сопротивления , график изменения которой показан на рис. 14, = 140 Н; уравновешивающая сила _у приложена в точке А звена 0₁А перпендикулярно к оси звена. Размеры звеньев берем по условию примера 5, = 55°, частота вращения кривошипа п₁ =120 об/мин в направлении часовой стрелки;

массы звеньев: ;

моменты инерции звеньев: = 0,00094 кгм², = 0,00084 кг-м², = 0,00575 кг-м².

Рис. 14

Решение. Составим схему нагружения механизма внешними силами и силами инерции (рис. 15).

1. Определим силы тяжести по величине:

,

, .

Векторы сил тяжести , , , направлены вертикально вниз и приложены в точках центров масс звеньев S₂, S₃, S₄, S₅.

Схема нагружения механизма μ_l=0,01[м/мм]

Рис. 15

2. Определим величины и направле­ния сил и моментов инерции, приложенных к звеньям механизма, для этого воспользуемся планом ускорений из примера 5 (рис. 7).

По условию задачи звено О₁А вращается с постоянной угловой скоростью, и центр тяжести звена совпадает с осью вращения (т. к. положение центра тяжести не задано), поэтому инерционная нагрузка этого звена будет равна нулю:

,

.

Звено АВ (шатун) совершает плоскопараллельное дви­жение, при этом возникают сила инерции

Н,

направленная противоположно ускорению a_s2 центра тя­жести и приложенная в точке S₂, и мо­мент инерции

Н·м,

направленный противоположно угловому ускорению звена АВ.

Для удобства силового расчета механизма момент инерции представляем эквивалентной парой сил, направление вращения которой совпадает с направлением момента. Плечо пары сил принимаем равным длине звена АВ. В точке А перпендикулярно к оси звена АВ прикла­дываем силу вверх, в точке В перпендикулярно к оси звена АВ прикладываем силу , вниз (рис. 15). Сила

Н.

Полученная пара сил заменяет действие момента инерции - поэтому в дальнейшем расчете его учитывать не будем, а будем учитывать пару сил и на плече АВ.

Звено О₂В (коромысло) совершает возвратно-вращательное движе­ние, в этом случае также имеет место сила инерции _, и момент . Определяем силу инерции:

Н.

Силу прикладываем к точке S₃ в сторону, противо­положную ускорению центра тяжести a_s3.

Момент инерции:

Н·м.

Заменяем М_и3 эквивалентной парой сил на плече О₂В (рис. 15). Определяем величины сил пары:

Н.

Звено DE (шатун) совершает плоскопараллельное движение. Определяем возникающие при его движении силу инерции и момент инерции:

Н.

Н·м.

Силу инерции Р_и4 прикладываем в точке S₄ в сторону, противоположную ускорению a_s4, момент инер­ции заменяем эквивалентной парой сил:

Н.

Силу прикладываем к точке Е вниз перпендику­лярно к оси звена DE, силу — в точке D вверх (рис. 15).

Звено 5 (ползун) совершает поступательное движение вдоль неподвижной направляющей. В этом случае возни­кает только сила инерции

Н,

направленная противоположно ускорению a_Е центра тя­жести звена 5.

3. Сила производственного сопротивления Р_п.с. приложена к ползуну в точке Е и направлена противоположно вектору скорости V_E точки Е. Для определения величины этой силы в заданном положении механизма построим график зависимости Р_п.с. = Р_п.с. (S_E) (рис. 16). По оси абсцисс отложим отрезок Е₀Е_m, соответствующий максимальному перемещению ползуна. Если этот отрезок измерить непосредственно по планам положений (рис. 4), то масштабный коэффициент будет тот же. По оси ординат отложим значения силы сопротивления в произвольно выбранном масштабе . На отрезке Е₀Е_m отметим заданное положение ползуна - точку Е. Так как это положение механизма соответствует рабочему ходу (ползун удаляется от кривошипа О₁А), то значение силы сопротивления Р_п.с. равно максимальному 140 Н.

Рис. 16

4. Определим реакции в кинематических парах.

Механизм состоит из первичного механизма I класса и двух двухповодковых структурных групп. II класса 4—5 и 2—3 (см. рис. 2).

Силовой расчет ме­ханизма начинаем с наиболее удаленной от веду­щего звена группы 4—5, состоящей из звеньев 4 и 5, двух вращательных пар D и E и одной крайней посту­пательной пары F. Эту группу вычерчиваем отдельно в том же масштабе, что и схема механизма (рис. 17). На группу 4—5 дейст­вуют известные по величине и направлению силы G₄, C₅, , , , и Р_{п с} . Освобождаем группу 4—5 от свя­зей и приклады­ваем вместо них две реак­ции: одну реакцию — в поступательной паре Е, пер­пендикулярную к направ­ляющей ползуна и неизвест­ную по величине (направление R₀₅ принимается перпендикулярным к направляю­щей в условиях, когда силы трения не учитываются);

Рис. 17

Рис. 18

другую — в шарнире D, неизвестную по величине и направлению. Реакцию представляем в виде двух составляющих: тангенциальной , направленной перпендикулярно к оси звена DE, и нормальной , направленной вдоль звена DE. Направлением составляющих задаемся произ­вольно, как показано пунктирными векторами на рис. 17. Чтобы определить реакции в кинематических парах D и F, составляем векторное уравнение равновесия сил, действующих на группу 4—5, причем сначала в уравнение записываем все силы, действующие на звено 4, затем на звено 5:

(3.1)

Поскольку это уравнение решается путем построения плана сил, то силы и в уравнение не записываем как взаимно уравновешивающие друг друга (равные по величине, но противоположно направленные).

Реакцию , входящую в уравнение, можно опреде­лить аналитически, - для этого составляем уравнение мо­ментов всех сил, действующих на звено DE, относительно точки Е:

,

откуда

Здесь длины отрезков h_P , h_G и DE взяты в миллиметрах из чертежа. Поскольку составляющая получилась со знаком минус, то это значит, что ее действительное направление противоположно выбранному.

Для построения плана сил, исходя из величин сил, вхо­дящих в уравнение (3.1), задаемся масштабом плана =2 Н/мм и вычисляем длины векторов, изображающих известные силы:

мм; мм;

мм; мм;

мм; мм.

От произвольной точки а — полюса плана сил (рис. 18) параллельно силе откладываем в том же направлении вектор ab, изображающий эту силу. Из конца вектора ab точки b параллельно силе откладываем в том же направлении вектор be. Далее откладываем последова­тельно векторы: cd силы G₄, de силы Р_И5, ef силы G₅, fq силы Р_п.с. Через точку а плана сил параллельно звену DE проводим линию действия силы , а через точку q перпендикулярно к направляющей ползуна — линию дей­ствия силы . Точка h пересечения этих линий действия определит векторы qh силы и ha силы :

Н;

Н.

Вектор , являясь геометрической суммой векторов ha и ab, представляет в масштабе полную реакцию :

Н.

Чтобы определить реакции в кинематической паре Е, составляем уравнение равновесия сил, действующих на звено 4:

,

где — реакция со стороны звена 5 на звено 4.

Векторы сил ( ), ( ), ( ) на плане сил (рис. 18) уже имеются, поэтому неизвестная реакция будет представлена замыкающим вектором ah на этом плане:

Н.

Реакция со стороны звена 4 на звено 5 равна по величине реакции и противоположна ей по направ­лению:

Переходим к расчету группы 2—3, состоящей из звеньев 2 и 3 и из трех вращательных пар А, В и 0₂. На группу 2—3 дейст­вуют известные по величине и направлению силы G₂, G₃ , , = — , = — , , — реак­ция со стороны звена 4 на звено 3, связанная с реак­цией зависимостью = — . Осво­бождаем группу 2—3 от связей (рис. 19) и приклады­ваем вместо них две реакции: в шарнире А и в шарнире 0₂, неизвестные по величине и направлению. Представляем реакции и в виде тангенциальных и нормальных составляющих. Ориентировочные направле­ния тангенциальных составляющих и показаны пунктирными векторами (рис. 19).

Для определения реакции составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 2, относительно точки В:

откуда Н.

Знак «минус» показывает, что действительное направле­ние реакции противоположно выбранному.

Для опре­деления реакции составляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 3, относительно точки В:

откуда

Н.

Знак «плюс» показывает, что выбранное направление реакции соответствует действительному.

Рис. 19

_{Рис. 20}

Для определения реакций в кинематических парах А и 0₂ построим план сил для двухповодковой группы 2—3 в це­лом согласно векторному уравнению

(3.2)

Силы и , и в уравнение не записываем, так как при построении плана сил они взаимно уравновешиваются. Масштаб плана сил = 2 Н/мм. Вычисляем длины векторов, изображающих известные силы, входящие в уравнение (3.2) и строим план сил (рис. 20).

Из плана сил определяем величины и направ­ления сил и , а также полных реакций = + и = + :

Н;

Н;

Н;

Н.

Чтобы определить реакции в кинематической паре В, составляем уравнение равновесия сил, действующих на звено 2 (отбросив звено 3, а действие его на звено 2 выра­зив реакцией ):

Согласно плану сил реакцию определяет по вели­чине и направлению вектор :

Н.

Реакция равна по вели­чине реакции и противопо­ложна ей по направлению:

.

Производим расчет ведущего звена. На кривошип О₁А дейст­вуют: со стороны звена 2 ре­акция и со стороны стойки реакция . Кроме этих сил в точку А кривошипа перпенди­кулярно к оси звена приложим уравновешивающую силу (рис. 21). Сила полностью известна (по величинe и направлению), а силы и не известны.

Вначале определяем величинy силы . Для этого состав­ляем уравнение моментов всех сил, действующих на звено 1, относительно точки О₁:

откуда Н.

Реакцию = — по величине и направлению оп­ределяем путем построения плана сил (рис. 21), дейст­вующих на звено 1, согласно векторному уравнению

.

Масштаб плана сил принимаем Н/мм.

Рис. 21

Рис. 22

Из плана Н.

Полученные искомые величины реакций и уравновеши­вающей силы в соответствующих кинематических парах вносим в таблицу 5:

Таблица 5

,Н	, Н	, Н	,Н	, Н	, Н	, Н	,Н
44	44	40	104	115	130	100	9,3