10) Уравнение окружности

Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)² + (y – b)² = R², где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .

Пусть задана окружность ω (A; R) на плоскости Oxy, где точка A, центр окружности – имеет координаты a и b. По определению окружности для любой точки B (x; y), лежащей на окружности ω (A; R), верно AB = R. Но  AB² = (x – a)² + (y – b)². Таким образом, координаты x и y любой точки окружности ω (A; R)удовлетворяют уравнению (x – a)² + (y – b)² = R².

11) Эллипс. Каноническое уравнение, Эксцентриситет, фокальный радиус.

Определение 3.5.2. Эллипсом называется множество всех точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F₁(c,0) и F₂(-c,0) − c называются фокусами эллипса,  Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом  Фокальным радиусом называется расстояние от некоторой точки кривой до фокуса. Фокальные радиусы эллипса r₁ и r₂ связаны соотношением

12) Параметрическое уравнение Эллипса.

Теорема. Пусть   – произвольные действительные числа. Тогда система уравнения

                           ,                                 (6)

является параметрическими уравнениями эллипса в канонических для эллипса системе координат.

   Доказательство. Достаточно доказать, что система уравнений (6) равносильна уравнению (4), т.е. они имеют одно и то же множество решений.

1) Пусть (х, у) – произвольное решение системы (6). Разделим первоеуравнение на а, второе – на b, возводим оба уравнения в квадрат и складываем:

                          .

Т.е. любое решение (х, у) системы (6) удовлетворяет уравнению (4).

2) Обратно, пусть пара (х, у) является решением уравнения (4), т.е.

                                    .

Из этого равенства следует, что точка с координатами   лежит наокружности единичного радиуса с центром в начале координат, т.е. является точкой тригонометрической окружности, которой соответствует некоторый угол  :

Из определения синуса и косинуса сразу же следует, что

,  , где  , откуда и следует, что пара (х, у) является решением системы (6), ч.т.д.

Теорема доказана.

13) Гипербола. Каноническое уравнение.Эксцентриситет, фокальный радиус. Параметрическое уравнение.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек   и   есть величина постоянная  , меньшая расстояния   между этими заданными точками.

В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

                                    .      

Отрезок, соединяющий точку P гиперболы с ее фокусом, будем называть фокальным радиусом. Одна и та же точка гиперболы имеет два фокальных радиуса r и 

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается ε:

 Параметрические уравнения гиперболы: