19) Цилинрическая поверхность.

Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению.

20) Поверхность вращения

Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда     , но   т.к. если взять точку M₁ с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y,   и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на 

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

21) Каноническое уравнение поверхности второго порядка

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

коэффициент которого a'₁₂ будет равен

Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид:

Если в уравнении (50)  , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа;  если же  , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'₁₁ или a'₂₂ равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа.

Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду:

т.е. фактически к каноническому виду.