6.5.Натуральная числовая прямая

Множества записей натуральных чисел  и записей целых чисел линейно упорядочены и дискретны.

Пусть L⁺ - положительный луч, т.е. направленная геометрическая полупрямая, которая имеет точку начала O и уходит в +. Очевидно, что положительный луч – НЕПРЕРЫВНОЕ множество точек. Введем в рассмотрение эталон измерения расстояния на луче L⁺ как отрезок прямой, длина которого e известна априори. Разметим луч L⁺, откладывая последовательно от его начала O эталон за эталоном (рис.11). В результате получим бесконечное ДИСКРЕТНОЕ множество ⁺ точек луча L⁺.

Введем в рассмотрение мерную последовательность S_e([p',p'']) как последовательность эталонных отрезков прямой, соединяющих точки p'⁺ и p''⁺. Мерная последовательность S_e([O,p]) определяет расстояние (p) = S_e([O,p]) точки p⁺ от начала O луча L⁺.

Дискретное множество отрезков, образующую мерную последовательность, имеет вполне определенную мощность ( S_e([O,p])). Таким образом, имеется возможность связать конкретную точку p⁺ на L⁺ с конкретной записью натурального числа из :

n_p = num(((p))) = natural((p) (17)

Положительный луч L⁺, на который нанесено множество точек ⁺ можно рассматривать как прототип альтернативного определения натурального числа и вместо функции () записать следующую функцию:

natural: ⁺  ⁺ (18)

Графическое обозначение графика этой функции (Рис.11) принято называть натуральной числовой прямой.

Рис. 11. Натуральная числовая прямая как график функции определения натурального числа

6.6.Целые числа (положительные и отрицательные)

Множество записей натуральных чисел  вместе с операциями сложения и умножения образует алгебру натуральных чисел).

Alg_ = < ; +,> (19)

Здесь,  - множество записей натуральных чисел, +, - сигнатура операций алгебры натуральных чисел.

Множество  замкнуто относительно операций сложения и умножения, т.е. результат операции над любыми двумя натуральными числами является натуральным числом (Рис.12).

Рис. 12. Замкнутость множества записей натуральных чисел относительно операции сложения

Необходимая в человеческой практике возможность сравнения мощностей двух множеств требует введение в рассмотрение понятия отрицательного числа, целого числа и операции вычитания двух целых чисел.

Если n₁ и n₂ – натуральные числа, то операцию вычитания натуральных чисел, как операцию обратную сложению, можно записать в виде следующей символьной строки:

n1n2 = n3 (20)

Здесь, n₁ - уменьшаемое, n₂ – вычитаемое, - знак вычитания натуральных чисел, n₃ – разность. Все записи представлены в примитивной кодировке.

Семантика операции вычитания заключается в следующем: Из записей n₁ и n₂ последовательно удаляются единицы до тех пор, пока обе записи или одна из них не станут пустыми.

Возможны три различных значения результата вычитания натуральных чисел.

Первый вариант вычитания. Значения уменьшаемого и вычитаемого одинаковы. Обе записи n₁ и n₂ одновременно становятся пустыми: разность уменьшаемого и вычитаемого равна n₃ = 0. Например: 111 - 111 = 0.

Второй вариант вычитания. Значение уменьшаемого больше значения вычитаемого. Пустой становится запись вычитаемого: результат операции - натуральное число n₃, значение которого представляется остатком записи уменьшаемого. Например: 11111 - 111 = +11.

В обоих случаях результат вычитания находится в множестве  натуральных чисел

Третий вариант вычитания. В случае, когда вычитаемое больше уменьшаемого, результат операции не принадлежит множеству  натуральных чисел. Говоря другими словами, множество натуральных чисел НЕ ЗАМКНУТО относительно операции вычитания. Говоря другими словами, операция "" вычитания натуральных чисел определена, если результат операции является натуральным числом.

Понятие целого числа появилось в математике как расширение понятия натурального числа. Практические предпосылки – необходимо абстрагировать меру сравнения в количестве элементов образующих два множества, вне зависимости от их физической сущности. Математическая цель расширения – обеспечить замкнутость множества  целых чисел относительно операции вычитания.

Аналогично предыдущему случаю, целое число определяется как отображение прототипа целого числа в множество записей целых чисел. В качестве прототипа целого числа используем геометрическую прямую (два противоположно направленных луча L⁺ и луч L^-), размеченную точками, находящимися на эталонном расстоянии друг от друга (Рис. 13.). Соответственно получается два дискретных множества точек прямой:⁺ и ^-.

Рис. 13. Целочисленная числовая прямая как график функции integer определения целого числа

Точки множества ⁺ обозначаются записями положительных целых чисел z := +n, точки множества ^- обозначаются записями отрицательных целых чисел z := -n. Здесь, n – запись натурального числа, обозначающего мощность абстрактного множества из A.

Формат записи целого числа: <знак числа><>

Для каждого положительного (натурального) числа +z существует только одно отрицательное число, обозначаемое –z, которое дополняет +z до нуля:

(+z )+ (-z) = 0 (21)

Абсолютная величина целого числа z:=n обозначается как /z/ и определяется как расстояние точки – прототипа числа от нуля:

(22)

Можно предложить следующую интерпретацию целых чисел. Запись положительного целого числа обозначает мощность профицитного множества M⁺, записи которого интерпретируются как "доход". Запись отрицательного целого числа обозначает мощность дефицитного множества M^, записи которого интерпретируются как "расход". Мощность профицитного множества равна мощности абстрактного множества из A.

Операция целочисленного сложения определяется как объединение двух множеств с учетом их профицитности или дефицитности.. При таком

• если n1>n2 то z = +( n1n2)

• если n1<n2 то z = (n2n1)

• если n1= n2 то z = 0

График функции integer приведен ниже.

Декартово произведение KK	Множество записей целых чисел 
n1=n2	z =0
n1>n2	z = +(n1n2)
n1<n2	z= (n2n1)

В результате такого расширения получается линейно – упорядоченное множество , состоящее из множества записей натуральных чисел, которые трактуются как положительные целые числа {+z}⁺ и множества записей отрицательных целых чисел {z}^, которые трактуются как отрицательные целые числа.

Числовая прямая, определяющая целое число показана на рис.14.

z₁-z₂ = z₃ (23)

Множество  замкнуто относительно операции вычитания "-".

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем 0. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно число с другим.

Примечание. Знак "+", в зависимости от контекста трактуется двояко. В записи "+z" – это префикс положительного числа, который чаще всего опускается. Знак "+" между z и z – это знак операции сложения целых чисел.

Рис. 14. Расширение множества натуральных чисел до множества целых чисел

Абсолютная величина целого числа /z/ = расстояние на целочисленной прямой записи числа от нуля:

(24)

Таким образом, определена алгебра целых чисел:

Alg_ = <; +,,> (25)

Здесь,  - множество записей натуральных чисел, +,, - сигнатура операций алгебры целых чисел. Множество целых чисел  замкнуто относительно операций +,,.

Практически всегда целые числа представляются в позиционной системе счисления в виде символьных записей: <знак числа><абсолютная величина числа>. Например, -125, +125. Хорошо известен алгоритм выполнения операций сложения, вычитания и умножения целых чисел, представленных в позиционной системе счисления.