Принцип макродетерменизма Клюшникова и его следствие (необходимость потенциальной формы записи определяющих соотношений пластичности в скоростях).
Принцип макродетерменизма Клюшникова заключается в следующем.
Если для двух близких путей деформирования
установлено взаимно-однозначное
соответствие так, что расстояние между
соответствующими точками
меньше некоторого
,
то расстояние между отвечающими им
точками полученных путей нагружения
меньше некоторого
такого, что
.
Следствием принципа макродетерменизма является потенциальный закон (5.133), то есть закон (5.133) – необходимое условие выполнения принципа.
Доказательство. Пусть в пространстве,
где задан девятимерный вектор деформаций,
из точки
можно попасть в точку
двумя путями, один из которых задается
изменением вектора
,
а другой – изменением вектора
.
Предположим, что в пространстве, где
задан девятимерный вектор напряжений,
соответствует
и задает переход по некоторому пути в
из точки
в точку
,
а
,
соответствующий
,
задает перемещение из точки
в какую-то другую точку, вообще говоря,
не совпадающую с
,
поскольку при пластическом деформировании
напряжение зависит не только от конечной
деформации, но и от пути деформирования.
Изменение работы при переходе от одного пути деформирования к другому равно
(5.134)
.
(5.135)
Тогда при
получим
.
(5.136)
Следствие доказано.
Соотношения деформационной теории не
удовлетворяют принципу макродетерменизма,
так как при путях нагружения, близких
к нейтральным, происходят конечные
скачки
от
и равенство (5.136) выполнить невозможно.
Для материалов, подчиняющихся постулату
Друкера, потенциальная функция
неотрицательна.
.
(5.137)
Причем для упрочняющихся материалов
только при
,
а для идеальных упругопластических
материалов
может быть равным нулю и при
.
Докажем это.
Из постулата Друкера следует
.
(5.138)
Для материалов с упрочнением
,
значит для
имеем
.
Для идеального упругопластического
материала
,
поэтому
,
и если деформирование происходит так,
что
,
то для ненулевых
возможно
.
Теория течения с гладкой поверхностью
текучести также имеет дефект, заключающийся
в слабой чувствительности определяющих
соотношений к резкой смене траектории
нагружения. Пусть, например, осуществляется
одноосное растяжение стержня в
пластическом режиме (
пропорционально
),
затем накладывается сдвиг (
,
остальные
).
В этот момент получаем
,
нагружение становится нейтральным,
имеем упругое деформирование. Иными
словами, при таком резком изменении
траектории нагружения мы можем остаться
на поверхности текучести только при
резком изменении направления нормали
к поверхности текучести, а это возможно,
только если возникнет угловая точка.
Для деформационной теории пластичности
,
так что при
имеем
.
Таким образом возникает так называемый парадокс пластического выпучивания, заключающийся в том, что деформационная теория, противоречивая в математическом плане и в сопоставлении с экспериментальными данными по сложному нагружению, позволяет в некоторых случаях получить решения задач о потере устойчивости тел, лучше согласующиеся с экспериментальными данными, чем аналогичные решения, полученные по более строгой теории течения. Этот парадокс, однако, можно разрешить, используя теорию течения с угловой точкой на поверхности текучести.