9. Теорема единственности решений квазистатических задач упругопластического деформирования.

Теорема единственности для теории упругости. Решение статических уравнений линейной теории упругости (5.149) единственно относительно компонент тензоров деформаций и напряжений.

Доказательство. Пусть имеются два решения , и , . Если мы обозначим , , то уравнения статической задачи линейной теории упругости примут вид

(5.169)

Если мы скалярно умножим первое из этих уравнений на и проинтегрируем по , получим

(5.170)

. (5.171)

Так как – положительно определенная квадратичная форма, отсюда следует, что всюду в . А значит . Теорема доказана.

Перейдем к теории пластичности.

Для начала определим выпуклую функцию. Функция , имеющая непрерывные первые производные и по крайней мере кусочно-непрерывные вторые производные, является выпуклой, если для любого в каждой точке выполнены следующие эквивалентные неравенства

(5.172)

Функция называется строго выпуклой, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Можно показать, что если однородная функция второй степени выпукла, то , причем для строго выпуклой функции при .

Рассмотрим определяющие соотношения упругопластического тела

(5.173)

Тогда

(5.174)

Введем обозначение

(5.175)

Тогда

(5.176)

Введем «линейное тело сравнения» с потенциалом так, что

(5.177)

(5.178)

то есть предполагаем, что для линейного тела выполнен постулат Друкера. Таким образом, – положительно определенная квадратичная форма для материала с упрочнением и неотрицательная – для идеального упругопластического материала.

(5.179)

(5.180)

для материалов с упрочнением – строго выпуклая.

Введем функцию .

(5.181)

Таким образом, – неотрицательно определенная квадратичная форма, а значит является выпуклой функцией.

Теорема сравнения (Р. Хилл). Если – выпуклая (строго выпуклая) функция и – выпуклая, то – выпуклая (строго выпуклая) функция.

Доказательство. Поскольку – выпуклая, то по определению

(5.182)

Отсюда следует, что – выпуклая (строго выпуклая).

Таким образом, из теоремы сравнения следует, что – выпуклая функция (строго выпуклая для упрочняющихся материалов).

Теорема единственности для упругопластического материала. Решение квазистатических уравнений упругопластического деформирования для материалов с упрочнением единственно относительно компонент скоростей тензоров деформаций и напряжений.

Доказательство. Аналогично теории упругости получаем

(5.183)

. (5.184)

Так как – строго выпуклая функция, то по определению

(5.185)

Можно показать, что и – взаимно однозначные функции. Пусть , тогда , а значит ( по определению для строго выпуклой функции. Рассмотрим потенциал такой, что , – строго выпуклая функция. Тогда если , имеем , откуда получаем .

Для идеальных упругопластических материалов в общем случае теорема единственности не доказывается. Она доказывается аналогично предыдущей теореме при .

Рассмотрим стандартную ситуацию нарушения теоремы единственности: в некоторых точках тела происходит деформирование такое, что при достижении предельной нагрузки ( , ), на части поверхности тела заданы условия жесткой заделки . В этом случае квазистатические уравнения переписываются следующим образом:

(5.186)

Если существует нетривиальное решение задачи (5.186) , то оно определяется с точностью до постоянного множителя (неединственность). Предполагаем при этом, что линейно независимое решение есть только одно, то есть, нет бифуркации решения. То есть, если некое поле , нормированное некоторым образом, например

,

является решением (5.186), тогда любое также является решением задачи (5.186). Таким образом, предполагая, что внешние силы являются заданными функциями параметра деформирования , задача определения скоростей деформаций в предельном состоянии не имеет единственного решения.

Рассмотрим консервативные внешние силы вида

(5.187)

где – неизвестный параметр, тогда квазистатическая система уравнений в случае жесткой заделки перепишется следующим образом

(5.188)

Добавляем к этой системе еще одно (контрольное) уравнение

, (5.189)

где – длина дуги в -пространстве, то есть некоторый монотонно возрастающий параметр, играющий роль времени. В этой ситуации, когда во всех точках тела, решение единственно для , :

. (5.190)

Решается совместно система (5.188), (5.190). Когда , решение единственно для , . Пусть достигнута предельная нагрузка ( ). Покажем, что решение системы (5.188), (5.190) единственно. Решениями (5.188) являются . Подставляя в (5.190), получаем значение

. (5.191)

Оно определяется однозначно, если хотя бы в нескольких точках.

В заключение рассмотрим простую модельную задачу, при решении которой покажем те трудности, которые возникают в задачах о деформировании тел из идеального упругопластического материала в предельном состоянии. Рассмотрим одноосное однородное деформирование стержня с площадью поперечного сечения , растягиваемого или сжимаемого продольной силой . Материал стержня положим упругопластическим с билинейной диаграммой одноосного растяжения. Обозначим и – продольные напряжения и деформации, – начальное значение предела текучести, – модуль Юнга, – тангенциальный модуль, характеризующий упрочнение материала. При использовании теории пластического течения с изотропным упрочнением определяющее соотношение материала имеет вид

(5.192)

Здесь – текущее значение предела текучести, – монотонно возрастающий параметр деформирования с начальным значением . Точка сверху означает производную по .

Уравнение равновесия в скоростях запишем в виде

. (5.193)

Из (5.192), (5.193) получаем нелинейное дифференциальное уравнение, которое дополняем начальным условием:

, (5.194)

где величину называют касательным коэффициентом жесткости.

Равновесные конфигурации стержня определяются интегрированием первого уравнения (5.194). При монотонном пластическом деформировании стержня равновесные конфигурации в плоскости соответствуют диаграмме одноосного деформирования (см. рис. 5.1.1. г). Разрешимость задачи (5.194) зависит от значения тангенциального модуля .

Для упругопластического материала с упрочнением . Задача (5.149) имеет решение как при упругом ( ), так и при упругопластическом ( ) деформировании. Решение задачи единственно, предельные состояния не достигаются.

Для идеального упругопластического материала . Задача (5.149) имеет единственное решение при упругом деформировании ( ), а при упругопластическом ( ) при решения не существует, а при решение существует, но не единственное. Предельное состояние стержня достигается при .

Для стержня из упругопластического материала с упрочнением задачу (5.194) можно решать, используя в качестве параметра деформирования силу ( ). Для стержня из идеального упругопластического материала при деформировании за пределом упругости силу в качестве параметра деформирования использовать нельзя, так как при решения задачи не существует. Таким образом, стандартная формулировка задачи о деформировании упругопластического тела вида (5.194) с заданной внешней силой не позволяет получить равновесные конфигурации в предельном состоянии.

В новой формулировке задачи (5.194) предполагается, что внешняя сила неизвестна. Введем неизвестный параметр такой, что , где . Теперь имеем две неизвестные функции и . Определяющее соотношение перепишем в виде

. (5.195)

Вторым уравнением, решаемым совместно с (5.195), будет контрольное уравнение

, (5.196)

где точка сверху означает дифференцирование по , а – параметр деформирования, монотонно возрастающая величина, в качестве которой используется длина дуги интегральной кривой в пространстве . Уравнения (5.195), (5, 196) дополняются начальными условиями

. (5.197)

В предельном состоянии стержня система уравнений (5.195), (5, 196) преобразуется к виду

. (5.198)

Положительный знак в правой части второго уравнения выбирается при растяжении стержня, отрицательный – при сжатии. Выбор длины дуги в качестве параметра деформирования автоматически приводит к тому, что в предельном состоянии параметром деформирования становится абсолютная величина деформации (см. второе равенство в (5.198)). В отличие от задачи (5.194), задача (5.198), (5.197) разрешима в предельном состоянии. Нелинейное уравнение (5.196) свелось ко второму уравнению (5.198), которое является линейным. поскольку . Последнее равенство является условием разрешимости уравнения (5.195) при . В общем случае (при решении задач большей размерности) уравнение вида (5.196) требует линеаризации, а замена системы уравнений вида системой вида нарушает структуру матрицы исходной системы уравнений.

Для численной реализации больше подходит другой путь. Систему (5.195), (5.196) решаем в два этапа. На первом этапе решается уравнение (5.195), которое при введении новой переменной преобразуется к виду

. (5.199)

Это уравнение имеет вид, аналогичный , и так же не имеет единственного решения. Для решения этой проблемы заменим на , то есть идеальный упругопластический материал стержня заменяем материалом с упрочнением с небольшим по сравнению с модулем Юнга тангенциальным модулем. Для нового материала введем обозначение , где получается заменой на . Таким образом, вместо рассматриваем уравнение

, (5.200)

имеющее единственное решение.

На втором этапе находим из контрольного уравнения (5.196):

, (5.201)

после чего находим . Знак в правой части (5.201) выбирается из условия большей гладкости кривой в -пространстве.

Поскольку исходное уравнение в ходе решения было заменено на , то для получения решения исходной задачи надо использовать процедуру итерационного уточнения решения.

Заключение главы 5.

В этой главе были рассмотрены основные проблемы аналитического решения задачи упругопластического деформирования твердого тела. Аналитические решения можно построить лишь для небольшого числа задач о деформировании тел достаточно простой конфигурации. В основном такие аналитические решения используются для тестирования численных методов приближенного решения упругопластических задач. Основным и наиболее универсальным численным методом является метод конечных элементов (МКЭ), применение которого в механике деформируемого тела позволяет решать очень широкий класс как научных, так и практических задач. Последняя глава этого пособия посвящена теоретическим основам применения МКЭ к решению задач теории упругости и пластичности.