2) Менее 172 см.

Записать нормальный закон.

Решение.

Вероятность того, что нормально распределенная величина Х принимает значение в интервале (α; β) определяется по формуле:

Р( < Х < β) = ,

где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение.

В нашем случае а = 170; σ =

1. Р(172 < Х < 177) = =Ф(1)-Ф(0,29)=0,3413-0,1141=0,2272

– это вероятность того, что наудачу выбранный мужчина будет иметь рост от 172 до 177 см.

2. Р(0 < Х < 172) = =Ф(0,29)-Ф(-24)=Ф(0,29)+Ф(24)=

=0,1141+0,5=0,6141

– это вероятность того, что наудачу выбранный мужчина будет иметь рост менее 172см.

3. Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей:

При этом функция распределения будет иметь вид:

Ответ: Р(172 < Х < 177) =0,2272, Р(0 < Х < 172) =0,6141, ,

6. Задан закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У).

У\X	0	1	2
1	0,1	а	0,2
3	0,05	0,15	0,2

6.1. Найти постоянную а.

6.2. Составить ряд распределения дискретной СВ Х и построить полигон распределения.

6.3. Вычислить вероятности событий A={X<1} и B={X≥1}.

6.4. Найти среднее значение СВ Х.

6.5. Найти математическое ожидание функции СВ U=X-6X-4.

6.6. Найти степень разбросанности СВ Х относительно её среднего значения.

6.7. Найти дисперсию функции СВ U=X-6X-4.

6.8. Найти ковариацию СВ Х и У. Что означает положительная ковариация?

6.9. Найти коэффициент корреляции СВ Х и У. Может ли коэффициент корреляции равняться 3?

6.10. Найти коэффициент корреляции СВ Х и V=-5+3X.

Решение.

1. Найдём постоянную а.

Так как , то сложив все вероятности из таблицы и приравняв их к 1, найдём а:

0,1+а+0,2+0,05+0,15+0,2=1⇒а+0,7=1⇒а=0,3

Тогда закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У) примет вид:

У\X	0	1	2
1	0,1	0,3	0,2
3	0,05	0,15	0,2

2. Составим ряд распределения дискретной св х и построим полигон распределения.

Одномерные законы распределения отдельных компонент случайного вектора (Х, У) выражаются через вероятности совместных значений по формулам:

, ,

Складывая вероятности в соответствующих столбцах, получим ряд распределения СВ Х.

X	0	1	2
Pi	0,1+0,05=0,15	0,3+0,15=0,45	0,2+0,2=0,4

Cтроим полигон распределения (рис. 1)

3. Вычислим вероятности событий A={X<1} и B={X≥1}.

A={X<1} ={X=0}=0,15;

B={X≥1}={X=1}+{X=2}=0,45+0,4=0,85.

4. Найдём среднее значение св х.

Найдём среднее значение по формуле: М(Х) = .

В нашем случае n = 3. Тогда имеем

М(Х) = 0 · 0,15 + 1 · 0,45 + 2 · 0,4 = 0,45+0,8=1,25.

5. Найдём математическое ожидание функции СВ U=X-6X-4.

M(U)=M(X-6X-4)=M(-5X-4)=-4-M(5X)=-4-5M(X)=-4-5 1,25=-10,25.