9. Система масового обслуговування з необмеженою Чергою
Цю математичну модель одержимо з
попередньої (розділ 8), наближаючи число
місць дожидання
до нескінченності.
Припустимо, що виконується умова
.
Оскільки
,
то останню умову ще можна записати
або
.
Цю умову називають умовою існування
стаціонарного режиму в СМО, а величину
називають завантаженням СМО. Фізичний
смисл умови такий: якщо середня кількість
заявок, що надходить до СМО в одиницю
часу, менше середньої кількості заявок,
що обслуговуються
приладами за одиницю часу, то в системі
існує стаціонарний режим. Стаціонарний
режим ще називають усталеним режимом.
В противному разі, тобто коли
,
стаціонарний режим в системі не існує,
що на практиці означає, що при
величина черги необмежено збільшується.
Припустимо, що умова
виконується, тоді характеристики СМО
одержимо з розділу 8 при
:
,
,
,
,
,
,
,
.
Приклад 1.
Автозаправочна станція з двома колонками
обслуговує потік машин, що надходить з
інтенсивністю 0,8 (машин за хвилину).
Середній час обслуговування однієї
машини
=2
хвилини. В даному районі немає другої
автозаправочної станції, тому черга
машин перед станцією може рости практично
необмежено. Всі потоки подій – найпростіші.
Знайти характеристики СМО в усталеному
режимі.
Розв’язування.
Маємо СМО з необмеженою чергою. Число
обслуговуючих пристроїв (колонок)
,
інтенсивність обслуговування
.
Обчислимо завантаженість системи
.
Оскільки , усталений режим в розглядуваній системі існує, тобто черга машин не зростає необмежено.
Знайдемо ймовірність станів:
,
,
,
,
і т.д.
Середнє число зайнятих каналів (колонок)
.
Ймовірність відсутності черги біля автозаправочної станції буде
.
Середнє число машин в черзі
.
Середнє число машин на автозаправочній станції
.
Середній час дожидання в черзі
(хвилин).
Середній час перебування машини на станції
(хвилин).
Приклад.
На залізничну сортувальну гірку надходять
состави з інтенсивністю
(состави за годину). Середній час, протягом
якого гірка обробляє состав, дорівнює
0,4 години. Состави, що прибули в момент,
коли гірка зайнята, стають в чергу і
дожидають в парку прибування, де є три
запасних колії, на кожній з яких може
дожидати один состав. Состав, що прибув
в момент, коли всі три запасні колії в
парку прибування зайняті, стає в чергу
на зовнішню колію. Всі потоки подій
найпростіші.
Знайти:
середнє число составів, що дожидаються черги (як в парку прибуття, так і поза ним),
сумарний час дожидання состава в парку прибуття і на зовнішніх коліях,
середній час перебування состава на сортувальній станції (включаючи дожидання і обслуговування),
ймовірність того, що состав, який прибув, займе місце на зовнішніх коліях.
Розв’язування.
В ролі
обслуговуючого приладу тут виступає
гірка,
.
Інтенсивність обслуговування
,
,
і СМО в середньому "справляється"
з потоком заявок, що надходить до неї.
Середнє число составів, що дожидаються черги (як в парку прибуття, так і за його межами), знайдемо за формулою
, де .
Приймаючи до уваги,
що
,
маємо:
,
.
Середній час дожидання состава в парку прибуття і на зовнішніх коліях
(годин),
середній час перебування состава на сортувальній станції (включаючи дожидання і обслуговування)
(годин).
Ймовірність того, що состав, який прибув, займає місце на зовнішніх коліях, дорівнює ймовірності того, що довжина черги буде не менше трьох, тобто
.
Знайдемо
:
,
,
.
Тепер маємо
.