Межі застосування найпростіших потоків
Найпростіший потік займає серед різних потоків таке ж місце, як нормальний закон серед розподілів. Як при сумуванні великого числа незалежних величин виходить розподіл, близький до нормального, так і при накладенні великого числа стаціонарних ординарних потоків виходить потік, близький до найпростішого. Виникає питання: а скільки потоків повинно накластись, щоб вийшов найпростіший потік? Теоретично число потоків, що сумується, повинно бути нескінченним, при цьому інтенсивність кожного потоку повинна наближатись до нуля. Практично потік, що утворюється при сумуванні п’яти-шести незалежних потоків з інтенсивностями одного порядку, уже можна вважати найпростішим. Чим більше потоків накладується, тим краще наближення сумарного потоку до найпростішого. Потоки автомобілів, що під’їжджають до вантажної станції, потоки пасажирів, що входять в метро, потоки викликів на телефонній станції близькі до найпростіших, оскільки заявки, що їх складають, надходять з великого числа різних джерел.
Найпростіший потік зручний тим, що для систем масового обслуговування з таким вхідним потоком одержуємо найбільш прості розв'язки. З усіх потоків відсутність післядії властива тільки для найпростішого потоку. Всі інші потоки мають обмежену післядію.
Цікаво, що показниковий розподіл інтервалів обслуговування зустрічається порівняно рідше, ніж показниковий розподіл інтервалів вхідного потоку. Це пояснюється тим, що часто існує деякий проміжок часу, раніше якого обслуговування не може закінчитись. Наприклад, корабель в порту або вагон на вантажній станції не можуть бути розвантажені миттєво, поїзд не може бути миттєво розформований.
0 1 2 3 4
Рис. 14.
)
короткі інтервали мають значну вагу,
тому накладене тільки що обмеження не
дозволяє розподілу інтервалів
обслуговування бути показниковим. А
ось телефонна розмова може бути скільки
завгодно короткою і розподіл тривалості
розмов добре описується показниковим
законом.
Формули Ерланга для СМО з відмовами
були отримані за припущення, що час
обслуговування розподілений за
показниковим законом, але, як було
доведено пізніше, вони справедливі для
будь-якого закону обслуговування. Таким
чином, ймовірності станів СМО з відмовами
залежать тільки від середнього часу
обслуговування заявок одним каналом
і не залежать від вигляду розподілу
тривалості обслуговування.
10. Завдання для контрольних робіт
Технічний пристрій
складається з
однакових вузлів, кожен з яких може
виходити з ладу з інтенсивністю
.
Вузол, що відмовив, негайно починає
ремонтуватися. Ремонт складається з
послідовних фаз, середня тривалість
кожної фази
,
.
Процес, що описує роботу пристрою,
марковський. Знайти граничні ймовірності
станів пристрою, використовуючи
стандартне програмне забезпечення, а
також виписати систему прямих
диференціальних рівнянь Колмогорова,
якщо в початковий момент часу
всі вузли справні. При розв’язуванні
задачі описати всі можливі стани
пристрою, а також намалювати граф
переходів зі стану в стан.
Таблиця 1
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
7 |
5 |
10 |
8 |
9 |
6,8 |
8,2 |
4,5 |
8,5 |
10 |
5 |
7 |
8 |
9 |
9,5 |
10 |
8,6 |
5,8 |
12 |
7,5 |
4,2 |
2 |
1 |
4 |
6 |
2,5 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1;1 |
2 |
2;1 |
1 |
1;2 |
3 |
1;3 |
4 |
2;2 |
5 |
2;3 |
3 |
1;2 |
3 |
2;4 |
7 |
5 |
4;5 |
3 |
2;6 |
6 |
1;3 |
4 |
5;4 |
4 |
4;1 |
2. На
-й
залізниці є
ремонтних бригад, які виконують
профілактичні роботи, а також усувають
несправності, що виникають на ділянках
колії. Потік замовлень на виконання
робіт – найпростіший. Середнє число
замовлень за місяць (30 днів) дорівнює
а. Середній час виконання замовлень
в діб. Припускаючи, що замовлення
виконуються в порядку находження,
обчислити при
:
середнє число зайнятих бригад;
середнє число замовлень, що дожидаються виконання;
середній час дожидання одного замовлення до початку його виконання;
середній час виконання одного замовлення з урахуванням часу дожидання початку виконання.
Таблиця 2
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
5 |
10 |
6 |
7 |
11 |
12 |
8 |
12 |
9 |
10 |
11 |
12 |
9 |
8 |
5 |
5 |
8 |
7 |
15 |
14 |
12 |
11 |
10 |
10 |
5 |
5 |
|
30 |
40 |
35 |
32 |
34 |
72 |
7 |
60 |
33 |
41 |
42 |
43 |
53 |
31 |
40 |
25 |
45 |
38 |
30 |
70 |
30 |
35 |
60 |
90 |
60 |
60 |
|
1,5 |
0,9 |
0,8 |
1,2 |
2,6 |
2,7 |
2,8 |
3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
2 |
1,1 |
2 |
1,5 |
0,7 |
1,3 |
2,6 |
2,7 |
2,6 |
0,9 |
2,5 |
2,5 |
1,25 |
1,6 |
На комутатор надходить в середньому а викликів за годину на зв’язок. Середня тривалість переговорів в хвилин. Скільки треба мати ліній зв’язку, щоб ймовірність відмови абоненту не перевищувала р?
Таблиця 3
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
65 |
58 |
56 |
60 |
62 |
65 |
60 |
61 |
48 |
45 |
47 |
54 |
63 |
48 |
45 |
54 |
58 |
50 |
40 |
60 |
56 |
60 |
65 |
48 |
45 |
50 |
в |
4 |
3 |
4,5 |
3 |
3,4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3,2 |
3,9 |
3,3 |
4,1 |
4,3 |
4,2 |
3,8 |
4 |
5 |
3 |
3 |
4,5 |
3 |
5 |
4 |
5 |
4 |
|
0,3 |
0,32 |
0,2 |
0,57 |
0,4 |
0,35 |
0,4 |
0,5 |
0,3 |
0,35 |
0,33 |
0,33 |
0,3 |
0,38 |
0,35 |
0,32 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,25 |
0,31 |
Стенд, що призначений для випробувань, має позицій. Прилади, що надходять на випробування, утворюють найпростіший потік з середнім числом надходжень т одиниць за зміну (на кожній позиції одночасно випробовується тільки один прилад). Тривалість випробувань – показниково розподілена величина, що має середнє значення а зміни.
Визначити при
:
середнє число зайнятих позицій;
середню довжину черги;
середній час перебування одного приладу в черзі;
середній час перебування одного приладу в системі (в черзі та обслуговуванні).
Таблиця 4
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
19 |
20 |
25 |
22 |
20 |
15 |
18 |
20 |
22 |
20 |
28 |
27 |
22 |
15 |
25 |
18 |
20 |
14 |
20 |
25 |
50 |
28 |
30 |
23 |
24 |
35 |
т |
75 |
90 |
90 |
85 |
50 |
30 |
45 |
60 |
85 |
40 |
80 |
80 |
40 |
25 |
80 |
50 |
70 |
70 |
60 |
85 |
85 |
60 |
45 |
48 |
50 |
62 |
а |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
0,25 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,5 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
5. Прилад складається з п вузлів;
потік відмов – найпростіший, середній
час безвідмовної роботи кожного вузла
дорівнює
;
вузол, що відмовив, зразу ж починає
ремонтуватись; середній час ремонту
(відновлення) вузла дорівнює
;
закон розподілу цього часу показниковий
(потік відновлень – найпростіший).
Знайти середню продуктивність приладу,
якщо при
працюючих вузлах вона дорівнює
,
поки
,
якщо ж
,
прилад взагалі не працює.
Таблиця 5
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
п |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
9 |
7 |
8 |
|
1 |
2 |
2,5 |
3 |
2 |
1,5 |
4 |
5 |
4,2 |
3,8 |
1,5 |
6 |
1 |
1 |
2 |
2,1 |
4,2 |
4 |
5 |
6,3 |
6,8 |
3,1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
0,8 |
1,5 |
2 |
2 |
3 |
2 |
5 |
4 |
4 |
3 |
1,5 |
7 |
1,4 |
0,5 |
2,1 |
2 |
4 |
5 |
4 |
5,1 |
3 |
4 |
2 |
3 |
0,3 |
1,8 |
т |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
6. На комутатор, що має п зовнішніх ліній зв’язку, надходить в середньому за годину т викликів на зв’язок. Середня тривалість переговорів хвилин. Визначити граничні ймовірності станів комутатора, в тому числі ймовірність відмови абоненту; відносну і абсолютну пропускну здатності комутатора; середнє число зайнятих ліній.
Таблиця 6
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
п |
22 |
20 |
15 |
18 |
19 |
17 |
20 |
15 |
20 |
15 |
18 |
20 |
15 |
18 |
17 |
20 |
20 |
20 |
15 |
20 |
20 |
15 |
21 |
22 |
13 |
14 |
т |
120 |
105 |
80 |
95 |
103 |
60 |
150 |
130 |
100 |
84 |
73 |
100 |
75 |
90 |
55 |
120 |
130 |
90 |
125 |
100 |
80 |
85 |
90 |
89 |
85 |
90 |
|
4 |
3 |
5 |
6 |
3 |
8 |
10 |
10 |
8 |
2 |
4 |
2 |
5 |
5 |
8 |
4 |
3 |
10 |
5 |
4 |
5 |
3 |
4 |
3 |
2 |
4 |
7. Система обслуговування складається
з п апаратів, кожен з них обслуговує
одночасно лише одну заявку. Час
обслуговування є показниково розподіленою
величиною з параметром
.
В систему надходить найпростіший потік
заявок з параметром
.
Обслуговування заявок починається
негайно, якщо є хоча б один вільний
апарат. Якщо всі апарати зайняті, а число
заявок в черзі на обслуговування менше
т, то заявка стає в чергу; якщо ж у
черзі т заявок, то заявка, яка щойно
надійшла, отримує відмову.
Визначити при :
ймовірність того, що заявка, яка надійшла, в систему, отримає відмову;
ймовірність того, що всі обслуговуючі апарати будуть зайняті;
середнє число заявок, що чекають початку обслуговування;
середнє число заявок, що знаходяться в системі обслуговування;
середній час дожидання початку обслуговування та середній час перебування однієї заявки в системі.
Таблиця 7
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
п |
10 |
15 |
12 |
18 |
17 |
16 |
13 |
20 |
13 |
14 |
25 |
20 |
10 |
20 |
10 |
20 |
17 |
15 |
12 |
11 |
10 |
20 |
18 |
10 |
15 |
18 |
|
30 |
105 |
15 |
20 |
44 |
75 |
30 |
75 |
35 |
80 |
40 |
30 |
25 |
100 |
15 |
20 |
40 |
70 |
30 |
30 |
20 |
105 |
25 |
40 |
30 |
26 |
|
5 |
10 |
5 |
2 |
4 |
6 |
3 |
4 |
12 |
15 |
5 |
10 |
5 |
10 |
5 |
2 |
4 |
6 |
2 |
5 |
5 |
10 |
2 |
4 |
1 |
1,5 |
т |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
4 |
3 |
4 |
4 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
2 |
Список літератури
Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.
Коваленко И.Н., Сарманов О.В. Краткий курс теории случайных процессов. К.: Вища школа, 1978.
Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. М.: Наука, 1989.
Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1975.