Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение вида
(
),
где
и
непрерывные функции, называется
дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными.
Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных.
Уравнение (
)
перепишем в виде
.
Тогда
.
Интегрируем
, где
.
Пример.
. Найти частное решение при начальных
условиях
.
Решение.
.
или
.
Это общее решение. Частное решение
получим, подставляя начальные условия
,
,
.
Частное решение исходного уравнении
:
.
Линейные дифференциальные уравнения
I-го порядка (л.д.у.).
Определение. Уравнение вида
(4),
где p(x)
, q(x)
- непрерывные функции, называется
линейным дифференциальным уравнением
первого порядка (л.д.у.). Если
q(x)=0, то уравнение (4) называется
однородным принимает вид
.
Если q(x)
0,
то уравнение (4) называется неоднородным.
Неизвестная функция и её производная входят в указанное уравнение в первой степени линейно, что объясняет название уравнения.
Методы решения л.Д.У. Первого порядка.
Метод вариации постоянной.
А. Находим общее решение однородного уравнения .
Перепишем однородное уравнение в виде уравнения с разделенными переменными
,
.
Интегрируем правую и левую часть
уравнения, получим
.,
.
Это будет общее решение однородного
уравнения:
.
В. Подставляем это решение в неоднородное уравнение , но при c=с(x).
Дифференцируем y и подставляем в неоднородное уравнение.
Решаем полученное уравнение и находим с(x).
Полученное выражение для с подставляем в .
В общем виде решение неоднородного уравнения запишется так:
.
Пример. 
,
p(x)=3,
q(x)=e
.
A.
,
,
,
или
,
где c=
.
В.
, берем производную
.
Подставляем выражения для y и в уравнение .
Получим дифференциальное уравнение
относительно
.
Производим действия и получаем
или
,
отсюда
.
Это выражение подставим в
=
.
Решение исходного уравнения: 
.
2. Метод подстановки.
Найти общее решение уравнения .
Положим
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
.
Или
(*)
Потребуем (или выберем u(x)
такое), чтобы
.
Найдем u(x)
из уравнения
,
применив метод разделяющих переменных.
Получим
,
.
Выберем какое-нибудь частное решение
(например, при с=1)
,
подставим в (*), получим
.
Найдем общее решение этого уравнения
.
Общее решение исходного уравнения
имеет вид:
,
где
- частное решение исходного уравнения,
- общее решение исходного уравнения.
Замечание . При решении уравнения
методом разделенных переменных может
быть потеряно решение
,
т.е. утеряны интегральные кривые
.
Поэтому получив методом разделенных
переменных общее решение уравнения,
нужно проверить, все ли частные решения
мы охватили при подходящем значении с.
В случае отсутствия, их нужно включить.
Пример (потеря решения).
.
Для удобства положим
.
Тогда
.
.
Но исходное уравнение имеет решение
у=0, которое не входит в запись
.
Поэтому запишем решение как
,
где с может быть равным нулю.
Итак, получив общее решение, необходимо проверить, входит ли в его состав при подходящих числовых значениях параметра с упомянутые частные решения. Если не входят, то нужно включить.
Пример (на метод подстановки). .
Положим
.
Потребуем
.
.
Выберем какое-нибудь частное решение
этого уравнения
.
Подставим это решение в (*):
,
найдем общее решение методом разделения переменных
.
Отсюда
или
.