Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный академический университет гуманитарных наук

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2012- Учебное пособие-диф.ур..doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

(4),

где y - искомая переменная, p(x), q(x), f(x) - известные функции, непрерывные на (a,b) .

Если f(x) , то (4) уравнение называется линейным однородным уравнением.

Если f(x) , то (4) - линейным неоднородным уравнением. Если разрешить его относительно , то получим частный случай уравнения (2), удовлетворяющим условиям Коши. Поэтому для любых начальных условий (3) при

это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Мы рассмотрим и изучим случай, когда функции p(x), q(x) – постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (л.д.у.2-го порядка). Они имеют вид:

( ,

где p(x), q(x), f(x) – вещественные числа.

Рассмотрим однородное уравнение

(5).

Л.д.у.2-го порядка по теореме Коши может иметь множество решений, и существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

где - некоторые действительные числа.

Из теории алгебры известно, что если линейная комбинация только тогда, когда , то называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми. Линейная независимость обозначает их пропорциональность, т.е. (при и ).

Теорема. Пусть - частные решения уравнения (5) и линейно независимы на . Тогда функция

(6),

- произвольные постоянные, является общим решением уравнения (5).

По этой теореме, для нахождения общего решения однородного л.д.у.2-го порядка

Нужно отыскать два линейно независимых частных решения и взять их линейную комбинацию вида (6). Возникает вопрос, сколько и какие решения уравнения (5) нужно задать, чтобы с их помощью можно описать все решения этого уравнения. Ответ дает выше сказанная теорема.

Но прежде убедимся в линейной независимости следующих функций:

1. и , где ;

Если + , то , но т.к. , то функция, стоящая в правой части является постоянной, только если , следовательно, .

2. и ;

+ x возможно, только если + x=0, т.к. . Отсюда .

3. и , где .

Предположим, что + . Тогда + (*).

Если бы хотя бы один коэффициент или , то нетрудно подобрать такое значение , чтобы функция в левой части равенства (*) отличалась бы от нуля (например, =0 или = ). Поскольку это невозможно, то .

Вернемся к однородному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами

(5).

Будем искать решение однородного уравнения (5) в виде функции , где – некоторое действительное число. Подставим функцию в уравнение (5), получим

Сократим на , получим

(7).

Если число является корнем уравнения (7), то есть решение однородного уравнения (5). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения(5). Вид общего решения уравнения (5) зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (7). Обозначим их и .

Справедлива следующая теорема:

Если корни характеристического уравнения (7) вещественные и , то

общее решение однородного дифференциального уравнения (5) имеет вид:

Если корни характеристического уравнения (7) вещественные и равные ( = = ), то общее решение однородного дифференциального уравнения (5) имеет вид:

Если корни характеристического уравнения (7) комплексные ( = ; = , где i = , - вещественные числа), то общее решение однородного дифференциального уравнения (5) имеет вид:

где .

Во всех трех случаях и - произвольные числа.

Для доказательства достаточно проверить, что при сделанных предположениях функции

, ( ) и ( , , - корни характеристического уравнения) являются решениями уравнения (5).

Примеры.

1. .

Характеристическое уравнение : , корни .

Общее решение данного уравнения: .

Чтобы найти частное решение этого уравнения, зададим начальные условия:

, .

Составим систему уравнений:

частное решение: .

2. .

Характеристическое уравнение : , корни .

Общее решение данного уравнения: .

3. .

Характеристическое уравнение : , корни .

Общее решение данного уравнения: .

Теперь рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

( ).

Теорема. Общее решение неоднородного линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами состоит из суммы общего решения однородного уравнения и его частного решения : .

Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения ( ).

1. Правая часть имеет вид многочлена n-степени: = .

Тогда частное решение будет иметь вид: , где - многочлен той же степени, что и многочлен , число r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример.

Характеристическое уравнение : , корни .

Тогда частное решение будет иметь вид: , т.к. правая часть уравнения – многочлен 0-ой степени, т.е. константа, R=1, т.к. один из корней характеристического уравнения равен нулю.

, .

Методом неопределенных коэффициентов найдем : 3А=1, .

= + .

2. Правая часть имеет вид: = .

Тогда частное решение будет иметь вид: , где - многочлен той же степени, что и многочлен , число R – число корней характеристического уравнения, равных ( R = 0, если не является корнем характеристического уравнения, R=1 или =2, если корень характеристического уравнения ).

Пример.

Характеристическое уравнение : , корни .

не корень характеристического уравнения.

Тогда частное решение будет иметь вид:

подставляем в исходное уравнение, получаем уравнение: . Отсюда , или .

+ .

3. Правая часть имеет вид: = , где известные числа.

Тогда частное решение будет иметь вид: , где A,B неизвестные числа, число R – число корней характеристического уравнения, равных .

Пример1.

Характеристическое уравнение : , корни , .

, . , т.к. , =1,

Частное решение исходного уравнения будем искать в виде:

2( )

2( )= .

= .

Пример2.

Характеристическое уравнение : , корни , .

, . , т.к. , =1, /

Частное решение исходного уравнения будем искать в виде:

= .

4. Правая часть имеет вид: = ( .

Тогда ,

где Q , Q многочлены степени , число корней характеристического уравнения, равных (R=0, если не является корнем характеристического уравнения; R=1, если является корнем характеристического уравнения).