X.1.3.2. Закон смещения Вина.

После дифференцирования формулы Планка по l и нахождения максимума, имеем:

.

Это формула Вина (Вильгельм Вин, 1864-1928 гг.), математически выражающая обычно наблюдаемое изменение цвета от красного до оранжевого или желтого при повышении температуры теплового излучателя. Длина волны цвета равна длине волны, рассчитанной для . Хорошее приближение значения для данной температуры черного тела получается при применении приближенного правила 3000/Т-мкм. Так, спектральная излучательная способность очень горячей звезды вроде Сириуса (11000К), излучающей бело-голубой свет, достигает пика в невидимом ультрафиолетовом спектре на длине волны 0,27 мкм.

Спектральная излучательная способность Солнца (около 6000К), излучающего желтый свет, достигает пика в районе 0,5 мкм в середине спектра видимого света.

При комнатной температуре (300К) пик значения излучательной способности достигается при 9,7 мкм в дальнем инфракрасном диапазоне, в то время как при температуре жидкого азота (77К) максимум излучательной способности чрезвычайно слабого излучения достигается на длине волны 38 мкм в крайнем инфракрасном спектре.

Рисунок 3.6. Кривые Планка, построенные в полулогарифмическом масштабе от 100 К до 1000 К. Пунктирная линия представляет геометрическое место точек максимума излучательной способности при каждой температуре согласно закону смещения Вина.

X.1.3.3. Закон Стефана-Больцмана.

Интегрированием формулы Планка от до , получаем интегральную излучательную способность ( ) черного тела:

.

Это формула Стефана-Больцмана (Джозеф Стефан, 1835-1893 гг., и Людвиг Больцман, 1844-1906 гг.), которая гласит, что интегральная излучательная способность черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры. Графически представляет собой область под кривой Планка для конкретной температуры. Можно показать, что излучательная способность в интервале от до составляет только 25% от интегральной излучательной способности, что представляет собой приблизительно количество излучения Солнца, лежащего в спектре видимого света.

Рисунок 3.6. Джозеф Стефан (1835-1893 гг.) и

Людвиг Больцман (1844-1906 гг.)

При расчете мощности излучения человеческого тела по формуле Стефана-Больцмана при температуре 300 К и площади поверхности около 2 м² получаем 1 кВт. Эта потеря энергии при комнатной температуре, не очень сильно отличающейся от температуры тела, не могла бы быть продолжительной, если бы не компенсирующее ее поглощение излучения от окружающих поверхностей и, разумеется, если бы не наличие одежды.

X.1.3.4. Излучатели, не являющиеся черными телами.

До сих пор обсуждались только черные излучатели и излучение черного тела. Однако реальные объекты почти никогда не соответствуют этим законам на широком диапазоне значений длины волны, хотя в некоторых спектральных интервалах они могут приближаться к характеристикам черного тела. Например, белая краска кажется идеально белой в спектре видимого света, но становится явно серой на длине волны примерно 2 мкм, а за пределами 3 мкм она вообще почти черная.

Реальным объектам помешать стать черными телами могут три процесса: часть a падающего излучения может быть поглощена, часть r может быть отражена, а часть t может пройти через объект. Поскольку все эти процессы в той или иной степени зависят от длины волны, символ применяется для обозначения спектральной зависимости для их определений. Таким образом:

• Коэффициент спектрального поглощения равен отношению мощности излучения, поглощенной объектом на определенной длине волны, ко всей входной мощности.

• Коэффициент спектрального отражения равен отношению мощности излучения, отраженной объектом на определенной длине волны, ко всей входной мощности.

• Коэффициент спектрального пропускания равен отношению мощности излучения, прошедшей сквозь объект на определенной длине волны, ко всей входной мощности.

Сумма этих трех коэффициентов всегда должна равняться единице при любой длине волны, поэтому:

.

Для непрозрачных материалов , поэтому отношение упрощается:

.

Другой коэффициент, называемый коэффициентом излучения, требуется для описания части  излучения черного тела, создаваемого объектом при определенной температуре. Таким образом, получаем следующее определение:

Спектральный коэффициент излучения равен отношению спектральной мощности излучения, создаваемого объектом, к мощности излучения черного тела при одних и тех же температуре и длине волны.

Математически это может быть записано как отношение спектральной излучательной способности объекта к спектральной излучательной способности черного тела:

.

Вообще говоря, существует три типа источников излучения, отличающихся тем, как спектральная излучательная способность изменяется при изменении длины волны.

• Черное тело, для которого

• Серое тело, для которого .

• Избирательный излучатель, для которого изменяется при изменении длины волны.

Согласно закону Кирхгоффа, для любого материала спектральный коэффициент излучения и спектральный коэффициент поглощения тела равны для любой заданной температуры и длины волны. То есть: .

Из этого для непрозрачных материалов мы получаем (поскольку ):

.

Для хорошо отполированных материалов приближается к нулю, поэтому для идеального отражающего материала (т. е. идеального зеркала) имеем

.

Для излучателя в виде серого тела формула Стефана-Больцмана принимает вид:

Это означает, что интегральная излучаемая мощность серого тела по сравнению с интегральной излучаемой мощности черного тела меньше в соответствии с величиной е для серого тела.

Рисунок 3.7. Спектральная излучательная способность трех типов излучателей, где:

1 - Черное тело; 2 - Избирательный излучатель; 3 - Серое тело.

Рисунок 3.9. Спектральный коэффициент излучения трех типов излучателей:

1 - Черное тело; 2 - Серое тело; 4 - Избирательный излучатель.