8. Векторні простори

Основні поняття. а) Означення

Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток αх кожного її елемента х на будь-яке число α теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:

1. 

2. 

3. 0 – називають нульовим елементом.

4. –х називають елементом, протилежним до х.

5. 1·х=х.

6. 

7. 

8. 

Елементи векторного простору називають векторами.

Якщо в просторі V визначено множення його елементів на дійсні (комплексні) числа, то V називають дійсним (комплексним) векторним простором.

Із означення векторного простору випливають наступні властивості.

1. Єдиність нуля.

Якщо припустити існування двох нульових елементів 0₁ і 0₂, то із 0₁+0₂=0₁ та 0₂+0₁=0₂ і того, що 0₁+0₂=0₂+0₁, випливає 0₁=0₂.

2. Єдиність протилежного елемента.

Якщо припустити існування двох протилежних до х елементів y та z, таких, що х+у=0 і х+z=0, то із

y+x+z=y+(x+z)=y+0=y та

y+x+z=(y+x)+z=0+z=z

випливає y=z.

3. 0 · x = 0.

Дійсно, 0 · x = (0 + 0) x = 0 · x + 0 · x. Додавши до обох частин рівності - 0 · x , отримаємо 0 = 0 · x.

4. 

Дійсно, Додавши до обох частин рівності отримаємо

5. Якщо добуток αх=0, то або α=0, або х=0.

Дійсно, якщо то

6. є протилежним до х.

Дійсно, х+(-1)х=1·х+(-1)х=[1+(-1)]x=0·x=0, звідки (-1)х= -х.

б) Розмірність і базис

Вектори а₁, а₂,…,а_k векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що

В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а₁, а₂,…,а_k називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а₁, а₂,…,а_k}.

Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).

Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV

(від dimage-фр).

Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними.

Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:

1. вона лінійно незалежна;

2. кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

Коефіцієнти даної лінійної комбінації називаються компонентами або координатами вектора за цим базисом.

Матриця А називається матрицею переходу від базису е до базису . Матриця переходу є невиродженою, оскільки в іншому випадку її стовпчики, а, отже, і вектори , були б лінійно залежними.

в) Підпростори векторного простору

Підпростором векторного простору V називається сукупність V₁ його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених в V операцій додавання і множення на число.

Перетином двох підпросторів V₁ і V₂ векторного простору V називається множина всеможливих векторів із V, що належить одночасно і V₁, і V₂. Перетин теж є підпростором і позначається

Сумою двох підпросторів V₁ і V₂ називається множина векторів вигляду де Сума теж є підпростором і позначається V₁+V₂.

Теорема. Якщо V₁ і V₂ – підпростори векторного простору V, то

Лінійні перетворення. а) Основні поняття

Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий вектор А(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.

Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа α виконуються рівності:

1. А(х+у)=Ах+Ау,

2. А(αх)=αАх.

б) Операції над лінійними перетвореннями

Сумою двох лінійних перетворень А та ℬ називається таке перетворення А+В, при якому

Властивості:

1. А+В = В+А.

2. (А+В)+С = А+(В+С).

3. А+ Ơ = А.

Добутком лінійного перетворення А на число α називається таке теж лінійне перетворення αА, при якому

Властивості:

1. 1·А = А.

2. α(βА)=(αβ)А.

3. (α+β)А=αА+βА.

4. α(А+В)=αА+αВ.

Добутком лінійних перетворень А та В називається таке теж лінійне перетворення АВ, при якому

Властивості:

1. (АВ)ℂ=А(Вℂ).

2. Аℰ=А.

3. (А+В)ℂ=Аℂ+Вℂ.

4. ℂ(А+В)=ℂА+ℂВ.

Для кожного невиродженого лінійного перетворення А існує таке (обернене до А) лінійне перетворення А^-1, що

А∙А^-1=А^-1·А=ℰ.

Ясно, що добуток невироджених лінійних перетворень теж є невиродженим лінійним перетворенням.

г) Ранг і дефект лінійного перетворення

Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.

Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.

Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А.

Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектом лінійного перетворення А.

Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,

dim(ImА) + dim(KerА) = n.