10.Білінійні і квадратичні функції(форми)

Лінійна функція (форма)

Кажуть, що в векторному просторі V задана лінійна функція f(x), якщо кожному вектору x V поставлено у відповідність число f(x), так, що виконані наступні умови:

1. f(x + y) = f(x) + f(y),

2. f(αx ) = α f(x),

де х, у – довільні вектори із V, а α - будь-яке дійсне число.

Поняття білінійної та квадратичної функції

Задана у векторному просторі V функція двох змінних А(х, у) називається білінійною, якщо при фіксованому х вона лінійна за змінною у, а при фіксованому у – лінійна за х.

Отже, якщо А(х, у) - білінійна функція, то при всіх x, y, z V і довільному дійсному α :

A(х + у, z) = A(х, z) + A(y, z) ;

A(αх, y) = αA(х, у) ;

A(z, х + у) = A(z, х) + A(z, y) ;

A(х, αy) = αA(х, у)

Ранг матриці білінійної форми не залежить від вибору базису і може бути названий тому рангом білінійної форми.

Білінійна форма називається симетричною, якщо x, y, V :

A(х, у) = A(y, x ).

У цьому випадку a_ij = a_ji, тобто матриця [a_ij] симетричної білінійної форми в довільному базисі буде симетричною.

Якщо в симетричній білінійній формі A(х, у) покласти х = у, то отримається квадратична форма А(х, х). Із квадратичної форми однозначно визначається і відповідна їй симетрична білінійна форма.

Білінійна функція називається кососиметричною, якщо

x, y, V : A(х, у) = - A(y, x ).

Зведення квадратичної форми до суми квадратів

Розглянемо два різні способи зведення квадратичної форми до суми квадратів, тобто знайдемо методи вибору такого базису у векторному просторі V , по відношенню до якого квадратична форма подається в канонічному вигляді

А(х, х) = λ₁x'²₁ + λ₂x'²₂ + … + λ_nx'²_n,

де x'₁, x'₂, …, x'_n – координати вектора х в новому базисі. Коефіцієнти λ₁, λ₂, …, λ_n називаються канонічними коефіцієнтами.

а) Метод Лагранжа

Теорема. Для довільної квадратичної форми А(х, х), заданої в п-вимірному векторному просторі, існує такий базис, в якому ця форма зводиться до суми квадратів (тобто в якому всі коефіцієнти при попарних добутках координат вектора х рівні нулю).

б) Метод Якобі

При деяких додаткових припущеннях про квадратичну форму А(х, х) можна вказати явні формули переходу від даного базису e=(e₁, e₂,…, e_n) до канонічного базису f=(f₁, f₂,,…, f_n) і формули для канонічних коефіцієнтів .

Введемо попередньо поняття трикутного перетворення базисних векторів.

Перетворення базисних векторів e₁, e₂,…, e_n називається трикутним, якщо воно має наступний вигляд:

Теорема. Якщо кутові мінори матриці A квадратичної форми A(x, x) відмінні від нуля, то існує єдине трикутне перетворення базисних векторів, з допомогою якого форму A(x, x) можна звести до суми квадратів.

Закон інерції квадратичних форм

При зведенні квадратичної форми А(x, x) до суми квадратів різними способами можна отримати різні канонічні коефіцієнти . Однак має місце наступне твердження :

Теорема (закон інерції квадратичних форм).

Кількість доданків з додатніми (від’ємними) канонічними коефіцієнтами в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від способу зведення форми до цього вигляду.

Класифікація квадратичних форм

Квадратична форма називається додатньо (від’ємно) визначеною, якщо для А(x, x) (А(x, x)) і додатньо (від’ємно) напіввизначеною (квазівизначеною), якщо А(x, x) (А(x, x) ).

Теорема (критерій Сильвестра).

Для того, щоб квадратична форма А(x, x) була додатньо визначеною, необхідно і достатньо, щоб всі кутові мінори матриці А=[a_ij] були додатніми.

Для того ж, щоб квадратична форма була від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувались, причому .

Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі

Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною.

Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду

(4) .

Рівняння (4) називається канонічним рівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів.

(5) ,

або , .

Це(5) рівняння еліптичного (при чи гіперболічного (при ) параболоїда.

(6) ,

або

( ),

(6) відповідає параболічний циліндр.

(7)

Рівняння (7) називають канонічним рівнянням нецентральної поверхні другого порядку