Сравнение выборок

• Общее знакомство

• Доступные критерии

• Выбор двухвыборочного критерия

• Критерий для нескольких выборок

• Неравные доли цензурированных наблюдений

Общее знакомство. Можно сравнить времена жизни или, на техническом языке, наработки до отказа нескольких выборок. В принципе, т.к. времена жизни не являются нормально распределенными, можно использовать непараметрические тесты, основанные на рангах. Непараметрические статистики предлагают широкий набор непараметрических критериев, которые могли бы быть применены для сравнения времен жизни; однако эти критерии не "работают" с цензурированными данными. Доступные критерии. В Анализе выживаемости имеется пять различных (в основном непараметрических) критериев для цензурированных данных: обобщенный (Геханом) критерий Вилкоксона, F-критерий Кокса, логарифмический ранговый критерий, а также обобщенный Пето (Peto R.и Peto J.) критерий Вилкоксона. Большинство этих критериев приводят соответствующие z-значения (значения стандартного нормального распределения); эти z-значения могут быть использованы для статистической проверки любых различий между группами. Однако критерии дают надежные результаты лишь при достаточно больших объемах выборок. При малых объемах выборок их "поведение" менее поддается осмыслению. Выбор двухвыборочного критерия. Не существует твердо установленных рекомендаций по применению определенных критериев. Однако известно, что F - критерий Кокса обычно более мощный, чем критерий Вилкоксона - Гехана, если:

1. выборочные объемы малы (то есть объем группы n меньше 50);

2. если выборки извлекаются из экспоненциального распределения или распределения Вейбулла;

3. если нет цензурированных наблюдений (см. работу Gehan and Thomas, 1969).

В работе Lee, Desu, and Gehan (1975) авторы сравнили критерий Гехана с некоторыми другими критериями и показали, что критерий Кокса-Ментела и логарифмически ранговый критерий являются более мощным (безотносительно к цензурированию), если выборки извлечены из экспоненциального распределения или распределения Вейбулла; при этих условиях между критерием Кокса-Ментела и логарифмически ранговым критерием почти нет различия. В работе Ли (Lee (1980)) обсуждается мощность различных критериев более детально. Если вас затрудняет выбор определенного критерия, мы рекомендуем обратиться к этим работам.

Критерий для нескольких выборок. Многовыборочный критерий представляет собой развитие критерия Вилкоксона, обобщенного Геханом, критерия Вилкоксона, обобщенного Пето, и логарифмически рангового критерия. Сначала каждому времени жизни приписывается его вклад в соответствии с процедурой Ментела (Mantel, 1967); далее на основе этих вкладов (по группам) вычисляется значение статистики хи-квадрат. Если выделены только две группы, то критерий эквивалентен критерию Вилкоксона, обобщенному Геханом. Неравные доли цензурированных наблюдений. Если сравниваются две или более группы, то важно проверить доли цензурированных наблюдений в каждой. В частности, в медицинских исследованиях степень цензурирования может зависеть, например, от различий в методе лечения: пациенты, которым стало много лучше или стало хуже, с большой вероятностью теряются из наблюдения. Различие в степени цензурирования может привести к смещению в статистических выводах.

В начало

 

Регрессионные модели

 

Общее знакомство

Самая большая проблема медицинских, биологических или инженерных статистических исследований состоит в выяснении того, являются ли некоторые непрерывные переменные связанными с наблюдаемыми временами жизни. Есть две главные причины, по которым в таких исследованиях не может быть непосредственно применена классическая техника множественной регрессии (см. Множественная регрессия). Во-первых, времена жизни обычно не являются нормально распределенными, а это является серьезным нарушением предположений для оценивания множественной регрессии по методу наименьших квадратов. Времена жизни обычно имеют экспоненциальное распределение или распределение Вейбулла. Во-вторых имеется проблема с цензурированными, т.е. незавершенными наблюдениями.

 

Модель пропорциональных интенсивностей Кокса

Модель пропорциональных интенсивностей - наиболее общая регрессионная модель, поскольку она не связана с какими-либо предположениями относительно распределения времени выживания. Эта модель предполагает, что функция интенсивности имеет некоторый уровень y, являющийся функцией независимых переменных. Никаких предположений о виде функции интенсивности не делается. Поэтому модель Кокса может рассматриваться как в некотором смысле непараметрическая. Модель может быть записана в следующем виде:

h{(t), (z₁, z₂, ..., z_m)} = h₀(t)*exp(b₁*z₁ + ... + b_m*z_m)

где h(t,...) обозначает результирующую интенсивность, при заданных для соответствующего наблюдения значениях m ковариат (z₁, z₂, ..., z_m) и соответствующем времени жизни (t).

Множитель h₀(t) называется базовой функцией интенсивности, она равна интенсивности в случае, когда все независимые переменные равны нулю. Можно линеаризовать эту модель, поделив обе части соотношения на h₀(t) и взяв натуральный логарифм от обеих частей:

log[h{(t), (z...)}/h₀(t)] = b₁*z₁ + ... + b_m*z_m

Теперь мы имеем достаточно "простую" линейную модель, которая легко поддается изучению.

Предположения. В то время как никаких прямых предположений о виде функции интенсивности ранее не делалось, модельное уравнение, приведенное выше, подразумевает два предположения.

Во-первых, зависимость между функцией интенсивности и логлинейной функцией ковариат является мультипликативной.

Это соотношение называется также предположением (гипотезой) пропорциональности. Реально оно означает, что для двух заданных наблюдений с различными значениями независимых переменных отношения их функций интенсивности не зависит от времени (чтобы ослабить это предположение, используются ковариаты, зависящие от времени; см. ниже).

Второе предположение состоит именно в логарифмической линейности соотношения между функцией интенсивности и независимыми переменными.