Раздел 1. Расчет статистических характеристик технологических параметров и их взаимосвязи

Работа № 1

Расчет статистических характеристик технологических параметров в производстве бетонных изделий

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Если из теоретических соображений ясно, какое именно распределение имеет признак, то с помощью инструмента Описательная статистика (рис. 1) в пакете Анализ данных MS Excel можно вычислить следующие параметры:

– среднее (статистическую оценку математического ожидания)

;

– стандартную ошибку (среднего)

;

– медиану (Ме) – значение признака, приходящееся на середину упорядоченной совокупности;

– моду (Мо) – значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой;

– дисперсию выборки

;

– стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение)

;

– эксцесс (характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением)

;

– асимметрию (характеризует степень асимметричности распределения относительно среднего)

;

– интервал (размах выборки)

;

– минимальное значение выборки ;

– максимальное значение выборки ;

– сумму всех значений выборки

;

– объем выборки n;

– наибольшее значение признака, имеющее разность с порядком k единиц;

– наименьшее значение признака, имеющее разность с порядком k единиц;

– уровень надежности (предельную ошибку выборки)

,

где – параметр распределения Стьюдента, определяемый по уровню значимости и числу степеней свободы .

Excel в качестве параметров вывода предлагает следующие:

– Итоговая статистика. Если в этом поле стоит флажок, то производится расчет среднего, стандартной ошибки, медианы, моды, дисперсии выборки, стандартного отклонения, эксцесса, асимметричности, интервала, минимального и максимального значений выборки, суммы всех значений выборки и объема выборки.

– Уровень надежности. Если флажок стоит в этом поле, то производится расчет уровня надежности (необходимо указать уровень значимости в процентах).

– К-й наименьший и К-й наибольший. Если это поле помечено флажком, то производится определение наибольшего или наименьшего значения признака, имеющего разность с порядком максимального или минимального значения к единиц.

Пример 1. Рассчитать статистические характеристики случайной выборки по показателю средней плотности легкого бетона (кг/м³) полученной из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение: 840, 850, 860, 865, 870, 875, 880, 885, 885, 890, 890, 895, 895, 900, 900, 905, 910, 910, 915, 920, 925, 930, 935, 940, 955.

Решение

Алгоритм действий следующий:

1. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений. Переменные задачи находятся в ячейках А1 и А25;

2. Сервис | Анализ данных | Описательная статистика | Ок;

3. Входной интервал | А1 : А25;

4. Группирование | По столбцам;

5. Выходной интервал | D1;

6. Отметить флажком Итоговая статистика;

7. Уровень надежности: 95 %;

8. К-ый наименьший: 2;

9. К-ый наибольший: 2;

10. Ок.

Excel представит результаты, показанные на рис. 1.

Работа № 2

Ковариационный анализ

Для однозначного определения системы двух случайных величин, кроме статистических оценок математического ожидания и дисперсии, необходимо уметь определять статистическую оценку ковариации.

Предположим, что в результате n испытаний система двух случайных величин приняла следующие значения: . Статистическую оценку ковариации определяют по формуле

,

где .

Ковариация характеризует рассеивание случайных величин Х и Y и взаимную зависимость этих случайных величин. Ковариация имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин.

Если рассматривается не двумерная, а многомерная выборка то по результатам ковариационного анализа строится ковариационная матрица вида

,

которая является симметричной относительно главной диагонали, так как .

В пакете Анализ данных инструмент Ковариация (рис. 2) используется для вычисления среднего произведения отклонений точек данных от относительных средних. Ковариация является мерой связи между двумя диапазонами данных.

Ковариационный анализ дает возможность установить, ассоциированы ли наборы данных по величине, т.е. большие значения из одного набора данных связаны с большими значениями другого набора (положительная ковариация), или, наоборот, малые значения одного набора связаны с большими значениями другого (отрицательная ковариация), или данные двух диапазонов никак не связаны (ковариация близка к нулю).

Пример 2. С целью анализа взаимосвязи между прочностью бетона , активностью цемента и влажностью W мелкого заполнителя была отобрана группа из десяти экспериментальных значений, зафиксированных в процессе производства товарного бетона (табл. 1). Установить взаимную зависимость этих показателей.

Таблица 1.

№ опыта	Прочность бетона , МПа	Активность цемента , МПа	Влажность песка W, %
1	27,5	42,5	4,6
2	26,3	41,3	4,5
3	28,1	43,7	5,1
4	27,7	42,8	5,0
5	25,8	41,2	6,2
6	27,4	43,3	5,0
7	29,2	44,4	4,1
8	28,8	43,5	3,4
9	27,0	41,9	3,3
10	27,3	42,9	3,7

Решение

Алгоритм действий следующий:

1. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений. Переменные задачи находятся в ячейках В2 и D11;

2. Сервис | Анализ данных | Ковариация | ОК;

3. Входной интервал | B2:D11;

4. Выходной интервал | А13;

5. ОК.

Excel представит результаты, показанные на рис. 2, где ; ; ; ; ; .

Работа № 3

Корреляционный анализ

Ковариация имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин. Более удобной величиной, характеризующей только зависимость случайных величин, является коэффициент корреляции

,

где .

Коэффициент корреляции величина безразмерная, характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y, проявляющейся в том, что при возрастании одной случайной величины другая проявляет тенденцию тоже возрастать (убывать). В первом случае и случайные величины связаны положительной корреляцией, во втором – и корреляция отрицательная. Для любых двух случайных величин . Модуль показывает степень линейной зависимости между случайными величинами. Если зависимость отсутствует, то .

В пакете Анализ данных инструмент Корреляция используется для количественной оценки взаимосвязи двух наборов данных, представленных в безразмерном виде. Коэффициент корреляций выборки представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений (рис. 3).

Пример 3. В условиях примера 2 установить наличие и тесноту линейной между указанными показателями.

Решение

Алгоритм действий следующий:

1. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений. Переменные задачи находятся в ячейках В2 и D11;

2. Сервис | Анализ данных | Корреляция | ОК;

3. Входной интервал | B2:D11;

4. Выходной интервал | А13;

5. ОК.

E xcel представит результаты, показанные на рис. 3, где ; ; .