Рис. 6. Окно инструмента Парный

Двухвыборочный t-тест для средних

Работа № 6

Проверка гипотезы о равенстве средних при одинаковых дисперсиях

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. (Например, по выборкам малого объема нельзя получить «хорошие» оценки дисперсий.)

Однако если предположить, что неизвестные дисперсии генеральных совокупностей равны между собой, то можно построить критерий сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы.

Если нет уверенности в одинаковости дисперсий, то, прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера, предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей.

Итак, в предположении, что дисперсии генеральных совокупностей одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу . Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются статистические оценки и , вычисленные по независимым малым выборкам объемов и .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину , которая подчиняется закону распределения Стьюдента с числом степеней свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, при этом рассматриваются три случая.

1. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Вычисляется опытное значение критерия

.

Пользуясь таблицей критических точек распределения Стьюдента (Приложение 2), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяют критическую точку .

Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Если , нулевую гипотезу отвергают.

2. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят правостороннюю критическую область. Вычисляют опытное значение критерия , с помощью таблицы критических точек распределения Стьюдента определяют критическую точку по уровню значимости . Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет; если нулевую гипотезу отвергают.

3. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза

В этом случая строят левостороннюю критическую область. Поскольку распределение Стьюдента симметрично, то критическая область определяют как и во втором случае, только со знаком «минус».

Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Если , нулевую гипотезу отвергают.

Пример 6. Имеются две независимые выборки из генеральных совокупностей Х и Y.

Х	7,52	8,18	2,02	4,46	1,95	9,47	6,79	6,45	1,50	9,91
Y	0,75	7,94	4,82	4,80	2,36	7,68	0,23	4,15	3,51	1,70

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Решение

Рассчитываем средние значения и дисперсии выборок:

.

.

Рассчитываем опытное значение критерия .

С помощью таблицы критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяем критическую точку . Так как , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. выборочные средние различаются незначимо.

Вероятность значимости определяем по таблице критических точек распределения Стьюдента по и (интерполируя табличные данные).

По результатам проверки статистических гипотез, можно вычислить совокупную дисперсию двух выборок

.

В пакете Анализ данных инструмент Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями служит для проверки гипотезы о равенстве средних для двух выборок. Эта форма t-теста предполагает совпадение дисперсий генеральных совокупностей и обычно называется гомоскедастическим t-тестом.

В категории Входные данные необходимо указать, кроме Интервалов переменной 1 и 2, Гипотетическую среднюю разность , а также значение Альфа – уровень значимости (рис. 8).

Р ешим пример 6, используя инструмент Двухвыборочный t-с одинаковыми дисперсиями.

Алгоритм действий следующий.

1. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений. Переменные задачи находятся в ячейках В1:К2;

2. Сервис | Анализ данных | Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями | ОК;

3. Интервал переменной 1: В1:К1;

4. Интервал переменной 2: В2:К2;

5. Гипотетическая средняя разность: 0 (значение по умолчанию);

6. Альфа: 0,05;

7. Выходной интервал: А4;

8. ОК.

Excel представит решение, показанное на рис. 9, где (для выборки X):

среднее – ;

дисперсия – ;

наблюдения – n₁;

объединенная дисперсия – ;

гипотетическая разность средних – ;

df – число степеней свободы ;

t – статистика – ;

P(T<=t) одностороннее – односторонняя вероятность значимости;

t критическое одностороннее – ;

P(T<=t) двухстороннее – двухсторонняя вероятность значимости;

t критическое двухстороннее – .