1.3 Теоретичне порівняння оцінок

Всі три оцінки незміщені, що можна перевірити методами теорії ве-роятность. Визначимо дисперсії оцінок:

Dâ₁ = D( ) = ,

Dâ₂ = D( max x_i ) = ,

Dâ₃ = D(x_(k) + x_(k+1))  ,

Звідки зрозуміло, що â₂ — наибільш точна оцінка, а â₃ — найменш.

Пояснимо наведені формули для дисперсій.

Перша :

Dâ₁ = = = = .

Друга. Визначимо функцію розподілу статистики max x_i:

F(z)  P{ max x_i < z} = P{x₁ < z, ..., x_n < z} = = ; щільність розподілу

(z) = F(z) = , z[0, a].

Дальше

Mâ ₂ = M( max x_i ) = = ,

Mâ₂² = M = ,

Dâ₂ = Mâ₂² — (Mâ₂)²=

Третя. Використовуємо теорему Крамера, згідно якої вибіркова p - квантиль має дисперсю, рівну наближено , де x_p — істинна p-квантиль, f(x) - щільність розподілу спостережень вибірки. У нашому випадку (при n = 2k) статистика

0.5 (x_(k) +x _(k+1) )  m

є вибірковою медіаною (p = 0.5) , f(x_0.5) = 1/a , â₃ = 2m, і тому

Dâ₃=Dm = = .

1.4. Статистичне порівняння оцінок

Не завжди вдається аналітично обчислити дисперсію оцінки. Як експериментально визначити, якою з оцінок користуватися? За однією вибіркою не можна судити про розкид значень оцінки, оскільки значення всього одне; необхідно мати декілька вибірок, наприклад, k = 20, (або хоча би 5  10) оцінити розкид значень для кожної оцінки і віддати перевагу тій оцінці (тому способу оцінювання), для якої розкид менше. Якщо ж вибірка всього одна, то слід (якщо n досить велике) розбити її випадковим чином на кілька вибірок, і по них порівнювати якість оцінок.

Сформуємо k =20 вибірок із розподілу R[0, a=10] об’єму n для різних n=10, 40, 160 і визначимо розкид оцінок. Характеристиками розкиду значень а1,...,аk оцінки â будемо вважати розмах

w = max a_i - min a_i

і средньоквадратичне відхилення (скВ)

S_a= , .

В якості прикладу в табл.5.1 і на рис.5.1 приведені результати порівняння трьох оцінок.

Порівняння значень розмахів w і скВ S_а для 3 оцінок показує, що оцінка â₂(х₁, ... , х_n) найбільш точна, а оцінка â₃(х₁, ... , х_n) - найменш.

Наведені результати експериментального порівняння 3 способів обробки спостережень показують наступне.

1. Значення оцінок концентруються в околиці оцінюваного параметра (прояв властивості незміщеності оцінок).

2. З ростом числа спостережень точність (величина розкиду) оцінок поліпшується (прояв властивості спроможності).

3. Різні оцінки розрізняються по величині середньої помилки, звідки ясно, що різні способи обробки спостережень потрібно порівнювати за величиною середнього значення деякого критерію якості, наприклад, середовищ-нього значення квадрата помилки.

Таблиця 5.1 – Розкид значень оцінок.

		â1	â2	â3
	amin	7.98	9.21	6.04
n = 10	amax	13.80	10.98	15.69
	w	5.82	1.77	9.65
	Sa	1.51	0.53	2.35
	amin	8.59	9.77	7.02
n = 40	amax	11.35	10.24	12.89
	w	2.76	0.47	5.86
	Sa	0.84	0.14	1.56
	amin	9.12	9.85	8.67
n = 160	amax	11.26	10.06	12.24
	w	2.14	0.21	3.57
	sa	0.50	0.05	0.94

Порівняння значень розмахів w і скВ S_а для 3 оцінок показує, що оцінка â₂(х₁, ... , х_n) найбільш точна, а оцінка â₃(х₁, ... , х_n) - найменш.

Наведені результати експериментального порівняння 3 способів обробки спостережень показують наступне.

1. Значення оцінок концентруються в околиці оцінюваного параметра (прояв властивості незміщеності оцінок).

2. З ростом числа спостережень точність (величина розкиду) оцінок поліпшується (прояв властивості спроможності).

3. Різні оцінки розрізняються по величині середньої помилки, звідки ясно, що різні способи обробки спостережень потрібно порівнювати за величиною середнього значення деякого критерію якості, наприклад, середовищ-нього значення квадрата помилки.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Порівняти статистично на вибірках обсягу n = 10 дві оцінки: оцінку максимальної правдоподібності та медіанні оцінку

1) середнього нормального розподілу і

2) параметра показового розподілу.

ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТи в пакеті STATISTICA

Оцінювання по вибірках об’єму n = 10

Сформуємо k =20 вибірок об’єму n =10 і визначимо значення оцінок a₁, a₂, a₃ кожної вибірки.

Запустимо пакет Statistica for Windows, вибравши в меню Basic Statistic/Tables. Cancel на пропоновані запити (якщо вони будуть).

Створення таблиці потрібних розмірів

Із пункту меню File виберемо команду New Data; вкажемо ім’я файлу для збереження майбутньої інформації, наприклад ESTIM. Тепер на екрані таблиця 1010, де кожний стовпчик представляє змінну (назва її винесена в заголовок стовпчика). перетворимо цю таблицю до размірів 2010 (20 вибірок по 10 спостережень): кнопка Vars (змінні), або через меню Еditе-Variables, і у меню вибираємо команду Add (добавити). На екрані запит про кількість змінних, що додаються (стовпців) і про те, куди їх помістити. Додамо 10 змінних, проставивши 10 в полі Number... to add (набором на клавіатурі або кнопками справа від поля; в полі Insert after вкажемо ім’я Var10, після якої будуть вставлені в матрицю нові стовпчики; потім ОК. Тепер можна переконатись (переглядом таблиці), що в ній 20 стовпчиків; крім того, розміри таблиці (в даному випадку, 20v*10c) завжди вказані в її заголовку. Кількість рядків не змінюємо: воно дорівнює 10. Зауважимо, що якщо кількість рядків (сase) або стовпців (variable) у таблиці перевищує необхідну, можна таблицю не зменшувати.

Генерація вибірок

Послідовність дій:

кнопка Vars - All specs... (специфікація всіх) – з’являється вікно-таблиця, у першому стовпчику якої знаходяться назви змінних (var1, var2,..., var20), а в четвертому (Long Name) - функція розрахунку; виділимо першу клітинку цього стовпця і введемо

= rnd(10)

 генерація випадкових чисел, рівномірно розподілених на відрізку [ 0, 10 ]. Скопіюємо цей запис в буфер обміну:

Edit - Copy

(або кнопкою Copy), а потім перенесемо її в інші клітинки (з 2 по 20):

виділимо наступну клітинку - Edit - Past (або, просто, кнопкою Past) -...-закриємо вікно. Виконаємо зроблені призначення:

кнопка x = ? - All variables - OK.

Збережемо 2 - 3 перші вибірки - стовпчики для того, щоб в подальшому роздрукувати:

виделення 2 - 3 стовпчиків - File - Export Data - формат Text - File name: Samples (наприклад).

Роздрукувати їх можна і відразу:

File - Print - Variables (вказати, які саме). Зауважимо, що зберегти ці вибірки або роздрукувати було б зручніше пізніше, після транспонування матриці, щоб мати на роздруківці горизонтальне розташування, а не вертикальне.

Визначення значень оцінок â₁, â₂ і â₃ на 20 вибірок.

Визначимо статистики, за якими обчислюються оцінки:виділимо всю матрицю (клік мишкою по клітинці - перетині заголовків рядків і стовпців), потім тричі:Edit - Block Stats/Columns- Sums (2 раз: Max’s, 3 - Medians)

Можна й інакше: права клавіша мишки - Block Stats/Columns (блок статистик по колонках) - Sums, (2 раз: Max’s, 3 - Medians).

У нижній частині таблиці з'являються 3 рядки з необхідними статистиками. Для нових рядків введемо більш зручні позначення:

кнопка Cases-Names...-дальше зрозуміло.

Транспонуємо нашу матрицю, яка тепер має розмір 20v13с в матрицю 13v  20c (щоб здійснювати дії з стовпцями):

Edit - Transponse - Data File.

Добавимо в матрицю 3 стовпці (з 14 по 16 для значень оцінок)

Vars - Add - Number of vars: 3 - after: 13

і визначимо значення оцінки â₁:

виділимо 1-й новий стовпчик Newvar1 - кн. Vars - Current Specs... (специфікація) - Name: A1 - Long name, згідно (1):

= 2/10  SUM

Аналогічно визначимо значення оцінок â₂ і â₃ ; різними будуть оператори; для â₂ по (2):

= 11/10  MAX

для â₃ по (3):

= 2  MEDIAN

2. Отримані результати (стовпчики a1, a2, a3) випробувань 3 оцінок на 20 вибірках збережемо, щоб надалі роздрукувати:

виділимо a1, a2, a3 - File - Export Data - формат Text - вкажемо, куди помістити і з яким ім’ям (наприклад, a1a2a3). Можна також зберегти або роздрукувати перші 2 - 3 вибірки-рядки.

характеристики розкиду для оцінок:

виділимо стовпчики a1, a2, a3 - Edit - Block Stats/Column - SD’s (стандартне відхилення), потім аналогічно: Mean, Min’s, Max’s. Виписуємо результати в табл.1, розмах вираховуємо.

Порівняння размахів w і стандартних відхилень S_а для 3 оцінок показує, що оцінка â₂(х₁, ... , х_n) найбільш точна, а оцінка â₃(х₁, ... , х_n) - найменш.

Порівняння оцінок â₂ і â₃ графічно:

Graphs - Stats 2D Graphs - Line Plots (Variables) - у вікні 2D Line Plots: Variables: A2 - A3, Graphs Type : Multyple, Fіt (підбір розподілу) : off (виключити) - ОК.

2. З графіка (рис.1) видно, що значення оцінок знаходятся в межах 10, і що оцінка â₂ має розкид менший, ніж â₃ . Роздрукуємо цей графік:

File - Print Graphs

Рисунок 5.1 – Порівняння оцінок â₂ і â₃.

Оцінювання по вибірках об’єму n=40 і n=160

Повторимо п. 3.1 для n = 40 і n = 160.

Підсумкове порівняння

Порівняння S_a(n) трьох оцінок графічно для значень n =10, 40, 160:

Створимо 4 нових змінних довжини 3:

n : зі значеннями 10, 40, 160 ,

Sa1, Sa2, Sa3: зі значеннями стандартного відхилення для трьох оцінок.

побудуємо графіки S_a(n):

виділимо змінні Sa1, Sa2, Sa3 - Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - введемо для Plot1 X : N, Y : Sa1, для Plot2 X : N, Y : Sa2, для Plot3 X : N, Y : Sa3 - OK.

Спостерігаємо три криві S_a(n), як функції n (рис. 2); зрозуміло, що оцінка â₂ найбільш точна, â₃ - найменш. Графік виводимо на друк:

File - Print Graphs.

Рисунок 5.2 – Порівняння трьох оцінок по стандартному відхиленню.

ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

Звіт по роботі повинен містити:

1) постановку задачі оцінювання, аналізовані оцінки, вираження для їхніх дисперсій (якщо їх неважко отримати);

2) результати експериментів:

роздруківки 3-5 вибірок, роздруківку значень оцінок на всіх k = 20 вибірках для обсягу n = 10,

графічне представлення результатів порівняння оцінок на всіх вибірках, таблицю розкиду значень оцінок,графічну залежність S_а від обсягу n для різних оцінок.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що таке оцінка?

2. Наведіть властивості оцінок.

3. Які є види порівняння оцінок.