31.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х—любое значение аргумента из указанной окрестности, х а. Тогда между точками а и х найдется точка такая, что справедлива следующая формула:

f(x)=f(a)+ (1)

Доказательство. Обозначим через многочлен относительно х порядка n в правой части формулы (1), т. е. положим

(Он называется многочленом Тейлора порядка n для функции f(х).)

Далее обозначим через R₍_n₊₁₎ (x) разность R₍_n₊₁₎ (x)=f(x)- .

Теорема будет доказана, если мы установим, что R₍_n₊₁₎ (x)= , a< .

Фиксируем любое значение х из указанной окрестности. Для определенности считаем х>а. Обозначим через t переменную величину, изменяющуюся на отрезке a x, и рассмотрим на отрезке [а, х] вспомогательную функцию F(t)=f(x)- (2)

Функция F(t) удовлетворяет на [а, х] всем условиям теоремы Ролля: 1) из формулы (2) и из условий, наложенных на функцию f(x), вытекает, что F(t) непрерывна и дифференцируема на [а, x], ибо f(t) и ее производные до порядка n непрерывны и дифференцируемы на [а, x]; 2) полагая в (2) t = a, имеем F(a) =f(x)- + R₍_n₊₁₎ (x) = R₍_n₊₁₎ (x) - R₍_n₊₁₎ (x) = 0.

Полагая в (2) t = x, получим

F(x)=f(x)-f(x)- =0

Таким образом, условие F(a) = F(x) выполнено.

На основании теоремы Ролля внутри отрезка [а, х] существует точка , такая, что F’( )=0. Вычислим производную F'{t). Дифференцируя равенство (2) по t, имеем

F’(t)=-f’(t)+ (x-t)²+ … + + .

Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за исключением двух последних, взаимно уничтожаются. Таким образом,

F’(t)= - . (4)

Полагая в (4) t = и используя равенство (3), получим

F’( )= - =0

Откуда R₍_n₊₁₎ (x)=

Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение для R₍_n₊₁₎ (x) — остаточным членом в фоpме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Так как точка то найдется такое число 0 из интервала 0< <1, что = a + (x — а) и остаточный член принимает вид