36. Направление выпуклости графика функции

Пусть функция у=f(х) дифференцируема на интервале (а, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке М(х; f(x)) этого графика (а<х<b), причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку ее угловой коэффициент, равный f ‘ (х), конечен.

Определение 1. Будем говорить, что график функции у =f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b).

Из определения следует, что на участке выпуклости касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним лишь точки касания.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) (f"(x) 0) во всех точках (а, b) то график функции y=f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай f"(x) на (а, b). Обозначим через с произвольную точку (а, b) (рис. 1 ). Требуется доказать, что график функции y=f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М (с, f(c)).

Запишем, обозначая текущую ординату ее точек через Y, уравнение этой касательной: Y—f(c) =f'(c)(x — с) или Y=f(c)+f'(c)(x-c). (1)

Разложим функцию у =f(x) в окрестности точки с по формуле Тейлора при и = 1. Получим

y=f(x)=f(c) + , (2)

Так как, по условию, f(x) имеет f’’(х) на (а, b), то, согласно теореме Тейлора, формула (2) справедлива для любого x из (а, b). Вычитая равенство (1) из равенства (2), имеем

y-Y= . (3)

Так как, по условию, f"(x) на (а, b), то правая часть равенства (3) неотрицательна, т.е. у — Y 0 для всех х из (а, b) или y Y. Последнее неравенство и доказывает, что график функции y=f(x) всюду в пределах (а, b) лежит не ниже касательной (1).

Рис. 1

37.Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условие точки перегиба.

Определение. Точка М (х₀; f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции у =f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х₀, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки х₀ имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой — над нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и произошло название точка перегиба (рис. 1).

Рис. 1 рис. 2

Теорема 1. (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M(х₀; f(x₀)) и пусть функция f(x) имеет в точке х₀ непрерывную вторую производную. Тогда f"(x) в точке х₀ обращается в нуль, т. е. f"(x₀) = 0.

Доказательство. Предположим обратное, т. е. допустим, что f’’(x₀)=0. Тогда, в силу непрерывности второй производной, по теореме об устойчивости знака непрерывной функции, существует окрестность точки х₀, в которой f" (х) < 0 (f" (х)>0), и, значит, согласно теореме о выпуклости(Если функция y=f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) (f"(x) 0) во всех точках (а, b) то график функции y=f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх)), график функции y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке М (х₀; f(x₀)). Полученное противоречие доказывает теорему.

Следует заметить, что не всякая точка М(х₀; f(x₀)), для которой f'’(x₀) = 0, является точкой перегиба. Например, график функции f(x)=x⁴ не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f’'(x)= 12х² = 0 при x = 0 (рис. 2). Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Такие точки М(х₀; f(x₀)) графика, для которых f"(х₀) = 0, будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует установить достаточное условие перегиба.

Теорема 2 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция f[x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки Х₀. Тогда, если в пределах указанной окрестности f" (х) имеет разные знаки слева и справа от точки х₀. то график y=f(x) имеет перегиб в точке М (х₀; f(x₀)).

Доказательство. Из того, чтоf"(x) слева и справа от точки х₀ имеет разные знаки, на основании теоремы о выпуклости(Если функция y=f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) (f"(x) 0) во всех точках (а, b) то график функции y=f(x) имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх)) заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x₀ является различным. Это и означает наличие перегиба в точке М (х₀; f(x₀)).

Замечание. Теорема остается верной, если f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х₀, за исключением самой точки x₀, и существует касательная к графику функции в точке М. Тогда, если в пределах указанной окрестности f" (x) имеет разные знаки слева и справа от точки х₀, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М (х₀; f(x₀)). Доказательство данного факта аналогично доказательству теоремы.