Задание 2.5. Числовые характеристики непрерывной случайной ве­личины Решение типовых задач

Пример 2.5.1. По заданной функции распределения F(x) CB X найти плот­ность распределения и построить её график. Вычислить вероятность Р(а ≤ Х ≤ в) попадания значения СВ в заданный интервал, математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Плотность распределения определяется по формуле

Искомая вероятность равна:

Математическое ожидание и дисперсия запишутся:

Пример 2.5.2. Дана плотность распределения случайной величины X:

Найти: а) параметр A; б) математическое ожидание и дисперсию X; в) функцию распределения случайной величины X; г) построить график функ­ции распределения; д) найти вероятность попадания случайной величины X в интервал .

Решение:

а) Параметр A подберем так, чтобы выполнялось свойство плотности распределения: . , . Отсюда .

б) Пользуясь формулой (22), получаем

.

Находим :

.

Используя формулу (24), находим

.

в) Функцию распределения будем искать на каждом интервале от­дельно.

Для значений ,

Для значений .

Для значений .

Таким образом,

График этой функции изображен на рисунке 2.

г) Вероятность попадания случайной величины X в интервал вычис­ляем по формуле :

.

Задачи для самостоятельного решения

2.5.1.Дана функция распределения F(x) непрерывной СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожи­дание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания СВ Х на отре­зок [a;b]. Построить графики функций F(х) и f(x).

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

_15.

2.5.2. Дана плотность распределения случайной величины . Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание и диспер­сию ; в) функцию распределения ; г) построить график функции распределения; д) вероятность попадания случайной величины на отрезок [a; b] .

_1.

_2.

_3.

_4.

_5.

_6.

_7.

8.

9.

_10.

_11.

12.

_13.

14.

_15.

Задание 2.6. Нормальный закон

Пример 2.6.1. Случайная величина X распределена по нормаль­ному зако­ну. Математическое ожидание и среднее квадратическое от­клонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероят­ность то­го, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой .

В нашем случае, a=10, b=50, σ =10, μ=30. P(10<x<50) = = 2Ф(2). Из таблицы находим Ф(2) = 0,4772 и окончательно имеем P(10<x<50) = 2·0,4772 = 0,9544.

2.6.1. Найти вероятность попадания в заданный интервал [a,b] зна­чения нормально распределенной случайной величины X, если из­вестно её математическое ожидание m[X] и дисперсия d[X].

Вар.	M[X]	D[X]		b
1	10	16	2	13
2	9	25	5	14
3	8	1	6	9
4	7	4	3	10
5	6	9	2	11
6	5	1	5	7
7	4	25	2	7
8	3	4	3	10
9	2	25	4	9
10	2	16	6	10
11	10	4	9	12
12	9	16	5	12
13	8	4	4	10
14	7	9	4	11
15	6	4	3	10

2.6.2.

1.Рост мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 170 см, и дисперсией, равной 49 см². Найти вероятность того, что трое наугад выбранных людей будут иметь рост от 170 до 175 см.

2. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с параметрами m = 172см и σ = 6см. Определить про­цент лиц - потенциальных танкистов (рост меньше 165см).

3. С.в. Y распределена по нормальному закону с математиче­ским ожиданием, равным единице, и средним квадратическим отклоне­нием, равным двум. Пусть X=3Y. Найти вероятности , , , . Написать функции плотности и распределения для X и построить их примерные графики. Как выглядит для с.в. X правило «трех сигм»?

4. Автомат штампует детали. Контролируется длина х детали, которая распределена нормально, с математическим ожиданием 50 мм. Фактически длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти веро­ятность того, что длина наудачу взятой детали: а) меньше 55 мм; б) лежит в интервале (34; 40).

5. Рост мужчин определенной возрастной группы распреде­лен нормально с математическим ожиданием а=170 и среднеквадратиче­ским отклонением s=4. Какую долю костюмов 3-го роста следует преду­смотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы, если 3-й рост определяется следующими пределами: 170-176

6. Автоматически фасуют сахар в пакеты по 1 кг. Реальный вес пакета X - случайная величина, распределенная по нормальному за­кону со средним квадратичным отклонением σ=5 г. Куплено 3 пакета сахара. Найти вероятность того, что хотя бы один из пакетов имеет от­клонение от номинального веса не более 2 г

7. Случайная величина распределена нормально с математи­ческим ожиданием 10. Вероятность попадания X в промежуток [0;20] равна 0,6. Найти вероятность попадания X в промежуток [0;10].

8. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проект­ная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 3,6 мм. Найти вероятность того, что отклонение длины изготовленной де­тали от проектной по абсолютной величине не превзойдет 5 мм.

9. Валик, изготовленный автоматом, считается стандартным, если отклонение его диаметра от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметров валиков подчиняются нормаль­ному закону со средним квадратичным отклонением 1,6 мм и математи­ческим ожиданием, равным 0. Сколько стандартных валиков (в процен­тах) изготавливает автомат?

10. Рассеивание снарядов по дальности при стрельбе подчи­нено нормальному закону со среднеквадратичным отклонением σ=20 м. Определить вероятность разрушения блиндажа одним выстрелом, если перелет или недолет должны составить не более a=15 м

11. Дальность до объекта определяется дальномером, средняя квадратичная ошибка которого σ=10, систематическая ошибка +5 м. Ошибка измерения имеет нормальное распределение. Найти вероятность того, что измеренное значение не превзойдёт истинное более чем на 15 м.

12. Диаметр изготовляемых деталей является случайной вели­чиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=14 и σ=3. Записать вид плотности вероятности случайной величины Z, по­строить ее график. Найти вероятность того, что размер диаметра наугад взятой для контроля детали окажется в заданном интервале .

13. Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15 см, и дисперсией, равной 0,55 см². Найти вероятность того, что диаметр наугад взятой детали – от 12 до 18 см.

14. СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием 80 и дисперсией 35. Вычислить вероятность попадания СВ Х в интервал (45;95).

15. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, кото­рая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a=135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой де­тали меньше 136 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гаран­тировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?